Question

20．如圖①，把一張長(zhǎng)方形紙板擺放在坐標(biāo)系中，已知AB=8，AC=17．
（1）求點(diǎn)D坐標(biāo)．
（2）折三角形紙板ADC，使邊CD落在邊AC上，設(shè)折痕交AD邊于點(diǎn)E（圖②），求點(diǎn)E坐標(biāo)．
（3）將三角形紙板ADC沿AC邊翻折，翻折后記為△AMC，設(shè)AM與BC交于點(diǎn)N，請(qǐng)?jiān)趫D③中畫出圖形，并求出點(diǎn)N坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理計(jì)算出OD，從而得到D點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè)OE=t，則DE=15-t，由折疊的性質(zhì)可計(jì)算出OD=9，則利用勾股定理得到9²+（15-t）²=t²，然后解方程求出t即可得到E點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）如圖③，過(guò)點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)M即可得到△AMC，先利用折疊性質(zhì)得CD=CN，∠AMC=∠ADC=90°，再證明AN=CN，設(shè)BN=m，則CN=AN=15-m，利用勾股定理得到8²+m²=（15-m）²，然后解方程求出m即可得到N點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）在RtADC中，∵AD=$\sqrt{1{7}^{2}-{8}^{2}}$=15，
∴D（0，15）；
（2）設(shè)OE=t，則DE=15-t，
∵折三角形紙板ADC，使邊CD落在邊AC上，如圖②，
∴OD=17-8=9，
在RtOED中，9²+（15-t）²=t²，解得t=$\frac{51}{5}$，
∴E（0，$\frac{51}{5}$）；
（3）如圖③，△AMC為所作，

∵三角形紙板ADC沿AC邊翻折，翻折后記為△AMC，
∴CD=CN，∠AMC=∠ADC=90°，
在△ABN和△CMN中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ANB=∠CNM}\\{∠ABN=∠CMN}\\{AB=CM}\end{array}\right.$，
∴△ABN≌△CMN，
∴AN=CN，
設(shè)BN=m，則CN=AN=15-m，
在Rt△ABN中，8²+m²=（15-m）²，解得m=$\frac{161}{30}$，
∴N（8，$\frac{161}{30}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了作圖-對(duì)稱軸變換：在畫一個(gè)圖形的軸對(duì)稱圖形時(shí)，也是先從確定一些特殊的對(duì)稱點(diǎn)開(kāi)始的，一般的方法是：由已知點(diǎn)出發(fā)向所給直線作垂線，并確定垂足；直線的另一側(cè)，以垂足為一端點(diǎn)，作一條線段使之等于已知點(diǎn)和垂足之間的線段的長(zhǎng)，得到線段的另一端點(diǎn)，即為對(duì)稱點(diǎn)；連接這些對(duì)稱點(diǎn)，就得到原圖形的軸對(duì)稱圖形．也考查了對(duì)稱軸的性質(zhì)和勾股定理．