Question

【題目】如圖所示，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=8cm，BC=12cm，E為AB的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在線段BC上以4cm/s的速度由點(diǎn)B向C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q在線段CD上由點(diǎn)C向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．

（1）當(dāng)t=2時(shí)，求△EBP的面積；

（2）若動(dòng)點(diǎn)Q以與動(dòng)點(diǎn)P不同的速度運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過多少秒，△EBP與△CQP全等？此時(shí)點(diǎn)Q的速度是多少？

（3）若動(dòng)點(diǎn)Q以（2）中的速度從點(diǎn)C出發(fā)，動(dòng)點(diǎn)P以原來的速度從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，都逆時(shí)針沿長(zhǎng)方形ABCD的四邊形運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過多少秒，點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在長(zhǎng)方形ABCD的哪條邊上相遇？

Answer 1

【答案】（1）S△EBP=16cm2；（2）經(jīng)過秒，△EBP與△CQP全等；此時(shí)點(diǎn)Q的速度是cm/s；（3）經(jīng)過9秒，點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在長(zhǎng)方形ABCD的邊AB上相遇．

【解析】

（1）直接運(yùn)用直角三角形面積等于兩條直角邊乘積的一半計(jì)算即可；
（2）△EBP與△CQP全等，要分兩種情形討論：△EBP≌△PCQ或△EBP≌△QCP；先求出t的值，再求點(diǎn)Q的速度；
（3）屬于追擊問題，根據(jù)等量關(guān)系：點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路程=點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)路程+12，列方程求解即可．

（1）當(dāng)t=2時(shí)，BP=2×4cm=8cm

∵E為AB的中點(diǎn)，

∴BE=AB=×8cm=4cm，

∵長(zhǎng)方形ABCD

∴∠B=90°

∴S△EBP=BEBP=×4×8=16（cm2）．

（2）設(shè)點(diǎn)Q的速度是acm/s，則BP=4t（cm），CQ=at（cm），

∴PC=（12-4t）（cm），

∵△EBP與△CQP全等，∠B=∠C=90°

∴△EBP≌△PCQ或△EBP≌△QCP

當(dāng)△EBP≌△PCQ時(shí)，PC=EB，CQ=BP

∴12-4t=4，解得t=2，

∴2a=4×2

∴a=4，與動(dòng)點(diǎn)Q以與動(dòng)點(diǎn)P不同的速度運(yùn)動(dòng)矛盾．

當(dāng)△EBP≌△QCP時(shí)，CP=BP，CQ=BE

∴12-4t=4t，解得t=，

∴a=4，解得a=（cm/s）；

答：經(jīng)過秒，△EBP與△CQP全等；此時(shí)點(diǎn)Q的速度是cm/s；

（3）設(shè)經(jīng)過x秒，點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在長(zhǎng)方形ABCD的邊上相遇；

則：4x=12+x，解得：x=9

此時(shí)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路程為：4×9=36（cm），∴點(diǎn)P在AB的中點(diǎn)處，

答：經(jīng)過9秒，點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在長(zhǎng)方形ABCD的邊AB上相遇．