【題目】如圖1,已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(9,10),交軸于點(diǎn),直線∥軸,點(diǎn)是直線下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn).
(1)直接寫出拋物線的解析式為 ,點(diǎn)的坐標(biāo)為 、的坐標(biāo)為 _;
(2)過(guò)點(diǎn)且與軸平行的直線與直線、分別交于點(diǎn)、,當(dāng)四邊形的面積最大時(shí),求點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)如圖2,當(dāng)點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)時(shí),在直線上是否存在點(diǎn),使得以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似,若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1),B(0,1),C(6,1);(2)P();(3)Q(-3,1),或(4,1).
【解析】分析:(1)由點(diǎn)A坐標(biāo)可得拋物線解析式,求出x=0時(shí)y的值即可知點(diǎn)B坐標(biāo),再根據(jù)拋物線對(duì)稱性得出點(diǎn)C坐標(biāo);
(2)設(shè)點(diǎn)P(m, m-2m+1),表示出PD=m+3m,再用S四邊形PBDC=S△BDC+S△APC=BC×PD,建立函數(shù)關(guān)系式,求出極值即可;
(3)先判斷出PE=CE,再得到∠PCE=∠DBE,以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似,分兩種情況計(jì)算即可.
本題解析:
(1)將點(diǎn)A(9,10)代入得:81a18+1=10,
解得:a=,
∴拋物線解析式為y=x2x+1,
當(dāng)x=0時(shí),y=1,即點(diǎn)B(0,1),
∵拋物線對(duì)稱軸為x=3,
∴點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)C坐標(biāo)為(6,1),
故答案為:y=x2x+1,(0,1),(6,1);
(2)如圖2,
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b,
將A(9,10)、B(0,1)代入得: ,
解得: ,
∴直線AB的解析式為y=x+1,
設(shè)點(diǎn)P(m, m2m+1)
∴D(m,m+1)
∴PD=m+1(m2m+1)= m+3m,
∵BC⊥PD,BC=6,
∴S四邊形PBDC=S△BDC+S△APC=BC×DE+12BC×PE=BC(DE+PE)= BC×PD=×6×(m+3m)=m+9m=(m)+,
∵0<m<6,
∴當(dāng)m=時(shí),四邊形PBDC的面積取得最大值,
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,;
(3)如圖2,
∵y=x2x+1= (x3)2,
∴P(3,2),
∴PE==3,CE==3,
∴PE=CE,
∴∠PCE=45°
同理可得:∠DBE=45°,
∴∠PCE=∠DBE,
∴在直線AC上存在滿足條件的Q,
設(shè)Q(t,1)且AB=9,BC=6,CP=3,
∵以C. P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似,
①當(dāng)△CPQ∽△BAC時(shí),
∴,
∴,
∴t=4,
∴Q(4,1)
②當(dāng)△CPQ∽△BCA時(shí),
∴,
∴,
∴t=3,
∴Q(3,1),
綜上,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(4,1)或(3,1).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,將矩形ABCO放在直角坐標(biāo)系中,其中頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(10, 8),E是BC邊上一點(diǎn)將△ABE沿AE折疊,點(diǎn)B剛好與OC邊上點(diǎn)D重合,過(guò)點(diǎn)E的反比例函數(shù)y=的圖象與邊AB交于點(diǎn)F, 則線段AF的長(zhǎng)為( )
A. B. 2 C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,方格紙中的每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的正方形,△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上,在建立平面直角坐標(biāo)系后,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-2,-2).
(1)畫出△ABC以y軸為對(duì)稱軸的對(duì)稱圖形,并寫出點(diǎn)C1的坐標(biāo);
(2)以原點(diǎn)O為對(duì)稱中心,畫出關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的并寫出點(diǎn)C2的坐標(biāo);
(3)以C2為旋轉(zhuǎn)中心,把順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△C2A3B3.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=1,BC=2,點(diǎn)E在AD上,點(diǎn)F在BC邊上,FE平分∠DFB.
(1)判斷△DEF的形狀,并說(shuō)明理由;
(2)若點(diǎn)F是BC的中點(diǎn),求AE的長(zhǎng).
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【題目】如圖,四邊形ABCD中,AB∥CD,AC平分∠BAD,CE∥AD交AB于E.
(1)求證:四邊形AECD是菱形;
(2)若點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),試判斷△ABC的形狀,并說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上,DE、BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F,且.
(1)求證;
(2)當(dāng)AB=12,AC=9,AE=8時(shí),求BD的長(zhǎng)與的值.
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【題目】(1)如果+(n+6)2=0,求(m+n)2008+m3的值
(2)已知實(shí)數(shù)a,b,c,d,e,且ab互為倒數(shù),c,d互為相反數(shù),e的絕對(duì)值為2,求×ab++e的值
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【題目】中國(guó)數(shù)學(xué)史上最先完成勾股定理證明的數(shù)學(xué)家是公元3世紀(jì)三國(guó)時(shí)期的趙爽,他為了證明勾股定理,創(chuàng)制了一副“弦圖”,后人稱其為“趙爽弦圖”(如圖1).圖2由弦圖變化得到,它是由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成. 將圖中正方形MNKT,正方形EFGH,正方形ABCD的面積分別記為,,. 若, 則正方形EFGH的面積為_______.
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【題目】如圖,點(diǎn)O是直線AB上一點(diǎn),OC⊥OD,OM是∠BOD的角平分線,ON是∠AOC的角平分線,則∠MON的度數(shù)是_____°.
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