【題目】如圖,拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,且OA=2,OC=3

(1)求拋物線的解析式;

(2)作RtOBC的高OD,延長OD與拋物線在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)E,求點(diǎn)E的坐標(biāo);

(3)在x軸上方的拋物線上,是否存在一點(diǎn)P,使四邊形OBEP是平行四邊形?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;

在拋物線的對稱軸上,是否存在上點(diǎn)Q,使得BEQ的周長最。咳舸嬖,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由

【答案】(1)拋物線解析式為y=-x2+x+3;(2)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2,2)

【解析

試題分析:(1)先根據(jù)已知條件得出A點(diǎn)及C點(diǎn)坐標(biāo),利用待定系數(shù)法即可求出此拋物線的解析式;

(2)y=0代入(1)中所求二次函數(shù)的解析式即可的出此函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo),由OD平分BOC可知OE所在的直線為y=x,再解此直線與拋物線組成的方程組即可求出E點(diǎn)坐標(biāo);

(3)過點(diǎn)E作x軸的平行線與拋物線交于另一點(diǎn)P,連接BE、PO,把y=2代入二次函數(shù)解析式即可求出P點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而可得出四邊形OBEP是平行四邊形;

設(shè)Q是拋物線對稱軸上的一點(diǎn),連接QA、QB、QE、BE,由QA=QB可知BEQ的周長等于BE+QA+QE,由A、E兩點(diǎn)的坐標(biāo)可得出直線AE的解析式,再根據(jù)拋物線的對稱軸是x=可求出Q點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而可得出結(jié)論

試題解析:解:(1)OA=2,

點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0)

OC=3,

點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3)

把(-2,0),(0,3)代入y=-x2+bx+c,得

解得

拋物線解析式為y=-x2+x+3;

(2)把y=0代入y=-x2+x+3,

解得x1=-2,x2=3

點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0),

OB=OC=3

ODBC,

OD平分BOC

OE所在的直線為y=x

解方程組,

點(diǎn)E在第一象限內(nèi),

點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2,2)

(3)存在,如圖1,過點(diǎn)E作x軸的平行線與拋物線交于另一點(diǎn)P,連接BE、PO,

把y=2代入y=-x2+x+3,

解得x1=-1,x2=2

點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-1,2),

PEOB,且PE=OB=3,

四邊形OBEP是平行四邊形,

在x軸上方的拋物線上,存在一點(diǎn)P(-1,2),使得四邊形OBEP是平行四邊形;

存在,如圖2,設(shè)Q是拋物線對稱軸上的一點(diǎn),連接QA、QB、QE、BE,

QA=QB,

∴△BEQ的周長等于BE+QA+QE,

BE的長是定值

A、Q、E在同一直線上時,BEQ的周長最小,

由A(-2,0)、E(2,2)可得直線AE的解析式為y=x+1,

拋物線的對稱軸是x=

點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(,

在拋物線的對稱軸上,存在點(diǎn)Q(,),使得BEQ的周長最小

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(1)求直線AB的函數(shù)表達(dá)式;

(2)若四邊形OACD恰是菱形,請求出m的值;

(3)在(2)的條件下,y軸的上是否存在點(diǎn)Q,連結(jié)CQ,使得∠OQC+∠ODC=180°.若存在,直接寫出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo),若不存在,則說明理由.

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(3)十字框框住的5個數(shù)之和能等于365嗎?若能,分別寫出十字框框住的5個數(shù);若不能,請說明理由.

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1)求證:PC是⊙O的切線;

2)若PD=cm,AC=8cm,求圖中陰影部分的面積;

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A.(4,0)
B.( ,0)
C.(5,0)
D.( ,0)

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