Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中A（a,0），B（0，b），且a,b滿足.

(1) (2)

（1）A、B坐標(biāo)分別為A( ) 、B( ).

（2）P為x軸上一點(diǎn)，C為AB中點(diǎn)，∠APC=∠PBO,求AP的長(zhǎng).

（3）如圖2，點(diǎn)E為第一象限一點(diǎn)，AE=AB，以AE為斜邊構(gòu)造等腰直角△AFE，連BE，連接OF并延長(zhǎng)交BE于點(diǎn)G，求證：BG=EG.

Answer 1

【答案】（1）A（4，0），B（0，4）；（2）6；（3）見解析.

【解析】

（1）根據(jù)解出a，b的值，即可求出A，B的坐標(biāo)；

（2）作CH⊥AP于點(diǎn)H，由△AOB為等腰直角三角形，可證明∠PBC=∠PCB，從而證明△PBO≌△CPH，即可求出AP長(zhǎng)；

（3）連接AG，根據(jù)題意證明△AOB≌△AFE，再根據(jù)角度轉(zhuǎn)換得到∠BGO，∠AGO的度數(shù)，即可證明∠AGB=90°，即可證明BG=EG.

（1）由得：a=b=4，

則點(diǎn)A坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，4）；

（2）作CH⊥AP于點(diǎn)H，

由（1）知△AOB為等腰直角三角形，

∴∠OBA=∠OAB=45°，

∵∠APC=∠PBO，

∴∠PCB=∠APC+∠CAP，∠PBC=∠PBO+∠OBA，

∴∠PBC=∠PCB，

∴PB=PC，

在△PBO和△CPH中

∴△PBO≌△CPH（AAS），

∵C為AB中點(diǎn)，

∴CH=2，

∴PO=CH=2，

∴AP=OA+OP=4+2=6；

（3）連接AG，

∵△AFE為等腰直角三角形，AE=AB，

在△AOB和△AFE中

∴△AOB≌△AFE（ASA），

∴∠OAF=∠BAE，

∴∠FOA=∠EBA，

∴∠BGO=∠OAB=45°，

∴∠BOF=∠BAG，

∴∠AGO=∠OBA=45°，

∴∠BGA=90°，

∵△ABE為等腰三角形，

根據(jù)等腰三角形的三線合一知G為BE中點(diǎn)，

∴BG=EG.