【題目】如圖所示,△ABC是圓O的內(nèi)接三角形,過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB與點(diǎn)D,連接OA,點(diǎn)E是AC的中點(diǎn),延長(zhǎng)EO交BC于點(diǎn)F.
(1)求證:△CEF∽△ODA.
(2)若,△ABC是不是等腰三角形?并說(shuō)明理由.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)是,證明見(jiàn)解析.
【解析】
(1)利用圓周角定理可知∠ECF=∠AOB,再由垂徑定理得到∠AOD=∠AOB,從而證明∠ECF=∠AOD,再由垂徑定理可得∠ODA=∠CEF=90°,由此即可得出結(jié)論;
(2)由已知易證△OEC∽△CEF,從而可得∠ECF=∠EOC,再根據(jù)圓周角定理證明∠EOC=∠CBA,從而可得∠ECF=∠CBA,由等角對(duì)等邊即可得出結(jié)論.
證明:(1)連接OB,
∵,
∴∠ECF=∠AOB,
又∵OD⊥AB,OA=OB,
∴∠AOD=∠AOB,
∴∠ECF=∠AOD,
∵OD⊥AB ,
∴∠ODA=90°,
∵E為AC中點(diǎn) ,
∴OE⊥AC,
∴∠CEF=90°,
∴△CEF∽△ODA.
(2)∵OE·EF=CE2,∠OEC=∠CEF,
∴△OEC∽△CEF,
∴∠ECF=∠EOC,
∵∠EOC=,∠CBA=
∴∠ECF=∠CBA,
∴△ABC是等腰三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)C是⊙O的直徑AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),過(guò)⊙O上一點(diǎn)D作DF⊥AB于F,交⊙O于點(diǎn)E,點(diǎn)M是BE的中點(diǎn),AB=4,∠E=∠C=30°.
(1)求證:CD是⊙O的切線;
(2)求DM的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】閱讀下面內(nèi)容,并解決問(wèn)題:
《名畫(huà)》中的數(shù)學(xué)
前蘇聯(lián)著名科學(xué)家別萊利曼在他所著的《趣味代數(shù)學(xué)》中介紹了波格達(dá)諾夫·別列斯基的《名畫(huà)》,畫(huà)上那位老師拉金斯基是一位自然科學(xué)教授,放棄了大學(xué)教席(教師職務(wù))來(lái)到農(nóng)村學(xué)校當(dāng)一名普通老師.畫(huà)中,黑板上寫(xiě)著一道式子,如圖所示:
從這道算式計(jì)算可以得出答案等于2,如果仔細(xì)一研究,10,11,12,13,14這幾個(gè)數(shù)具有一種有趣的特性: ,而且.
請(qǐng)解答以下問(wèn)題:
(1)還有沒(méi)有其他像這樣五個(gè)連續(xù)的整數(shù),前三個(gè)數(shù)的平方和正好等于后兩個(gè)數(shù)的平方和呢?如果有,請(qǐng)求出另外的五個(gè)連續(xù)的整數(shù);
(2)若七個(gè)連續(xù)整數(shù)前四個(gè)數(shù)的平方和等于后三個(gè)數(shù)的平方和,請(qǐng)直接寫(xiě)出符合條件的連續(xù)整數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)
如圖1,在△OAB和△OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=40°,連接AC,BD交于點(diǎn)M.填空:
①的值為 ;
②∠AMB的度數(shù)為 .
(2)類比探究
如圖2,在△OAB和△OCD中,∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠OCD=30°,連接AC交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M.請(qǐng)判斷的值及∠AMB的度數(shù),并說(shuō)明理由;
(3)拓展延伸
在(2)的條件下,將△OCD繞點(diǎn)O在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn),AC,BD所在直線交于點(diǎn)M,若OD=1,OB=,請(qǐng)直接寫(xiě)出當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)M重合時(shí)AC的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直線a∥b,∠1=40°,∠2=80°,則∠3的度數(shù)為( 。
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A.120°B.130°C.140°D.110°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲、乙兩人在直線跑道上同起點(diǎn)、同終點(diǎn)、同方向勻速跑步500m,先到終點(diǎn)
的人原地休息.已知甲先出發(fā)2s.在跑步過(guò)程中,甲、乙兩人的距離y(m)與乙出發(fā)的時(shí)間t(s)之間的關(guān)系
如圖所示,給出以下結(jié)論:①a=8;②b=92;③c=123.其中正確的是【 】
A.①②③ B.僅有①② C.僅有①③ D.僅有②③
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】小明準(zhǔn)備給長(zhǎng)米,寬米的長(zhǎng)方形空地栽種花卉和草坪,圖中I、II、III三個(gè)區(qū)域分別栽種甲、乙、丙三種花卉,其余區(qū)域栽種草坪.四邊形和均為正方形,且各有兩邊與長(zhǎng)方形邊重合;矩形(區(qū)域II)是這兩個(gè)正方形的重疊部分,如圖所示.
(1)若花卉均價(jià)為元,種植花卉的面積為,草坪均價(jià)為元,且花卉和草坪栽種總價(jià)不超過(guò)元,求的最大值.
(2)若矩形滿足.
①求,的長(zhǎng).
②若甲、乙、丙三種花卉單價(jià)分別為元,元,元,且邊的長(zhǎng)不小于邊長(zhǎng)的倍.求圖中I、II、III三個(gè)區(qū)域栽種花卉總價(jià)的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:如圖,在中,的角平分線交邊于.
(1)以邊上一點(diǎn)為圓心,過(guò)兩點(diǎn)作(不寫(xiě)作法,保留作圖痕跡),再判斷直線與的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;
(2)若(1)中的與邊的另一個(gè)交點(diǎn)為,,求線段與劣弧所圍成的圖形面積.(結(jié)果保留根號(hào)和)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線經(jīng)過(guò)A(-1,0)B(4,0),C(0,4)三點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)將(1)中的拋物線向下平移個(gè)長(zhǎng)度單位,再向左平移h(h>0)個(gè)長(zhǎng)度單位,得到新拋物線.若新拋物線的頂點(diǎn)在△ABC內(nèi),求h的取值范圍;
(3)點(diǎn)P為線段BC上的一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)B,C重合),過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交(1)中的拋物線于點(diǎn)Q,當(dāng)△PQC與△ABC相似時(shí),求△PQC的面積.
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