【題目】已知,如圖:在△ABC中,AC=3,BC=6,∠C=60;
(1)將△ABC繞著點C旋轉,使點A落在直線BC上的點A′,點B落在B′,在下圖中畫出旋轉后的△A′B′C.
(2)直接寫出A′B的長,A′B=___________.
【答案】(1)見詳解;(2)3cm或9cm
【解析】
(1)利用∠C=60°和旋轉的性質,將△ABC繞著點C順時針旋轉120°時,點A落在直線BC上的點A′,畫出此時的△A′B′C;將△ABC繞著點C逆時針旋轉60°時,點A落在直線BC上的點A′,畫出此時的△A′B′C;
(2)利用(1)中的兩個圖形分類計算.
解:(1)如圖1,如圖2,△A′B′C為所作;
(2)將△ABC繞著點C順時針旋轉120°得到△A′B′C′,如圖1,則CA′=CA=3cm,∴A′B=CB+CA′=9cm;
將△ABC繞著點C逆時針旋轉60°得到△A′B′C′,如圖2,則CA′=CA=3cm,
∴A′B=CB-CA′=3cm.
故A′B為3cm或9cm.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A為圓心適當長為半徑畫弧,分別交AC、AB于點M、N,分別以點M、N為圓心,大于MN的長為半徑畫弧交于點P,作射線AP交BC于點D,再作射線DE交AB于點E,則下列結論錯誤的是( 。
A. ∠ADB=120° B. S△ADC:S△ABC=1:3
C. 若CD=2,則BD=4 D. DE垂直平分AB
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【題目】如圖,將兩塊直角三角尺的頂點疊放在一起.
(1)若∠DCE=25°,求∠ACB的度數(shù).
(2)若∠ACB=140°,求∠DCE的度數(shù).
(3)猜想∠ACB與∠DCE的關系,并說明理由.
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【題目】隨著科技的迅猛發(fā)展,人與人之間的溝通方式更多樣、便捷某校數(shù)學興趣小組設計了“你最喜歡的溝通方式”調查問卷(每人必選且只選一種),在全校范圍內(nèi)隨機調查了部分學生,將統(tǒng)計結果繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖,請結合圖中所給的信息解答下列問題.
(1)這次統(tǒng)計共抽查了______名學生;在扇形統(tǒng)計圖中,表示“QQ”的扇形圓心角的度數(shù)為________;
(2)將條形統(tǒng)計圖補充完整;
(3)該校共有2500名學生,請估計該校最喜歡用“微信”進行溝通的學生有多少名?
(4)某天甲、乙兩名同學都想從“微信”“QQ”“電話”三種溝通方式中選一種方式與對方聯(lián)系,請用列表或畫樹狀圖的方法求出甲、乙兩名同學恰好選擇同一種溝通方式的概率.
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【題目】求知中學有一塊四邊形的空地ABCD,如下圖所示,學校計劃在空地上種植草皮,經(jīng)測量∠A=90°,AB=3m,BC=12m,CD=13m,DA=4m,若每平方米草皮需要250元,問學校需要投入多少資金買草皮?
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【題目】下列說法正確的是( 。
A.了解全國中學生最喜愛哪位歌手,適合全面調查.
B.甲乙兩種麥種,連續(xù)3年的平均畝產(chǎn)量相同,它們的方差為:S甲2=5,S乙2=0.5,則甲麥種產(chǎn)量比較穩(wěn).
C.某次朗讀比賽中預設半數(shù)晉級,某同學想知道自己是否晉級,除知道自己的成績外,還需要知道平均成績.
D.一組數(shù)據(jù):3,2,5,5,4,6的眾數(shù)是5.
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【題目】如圖,矩形ABCD中,點M從A點出發(fā)在線段AB上作勻速運動(不與A、B重合),同時點N從B點出發(fā)在線段BC上作勻速運動.
(1)如圖1,若M為AB中點,且DM⊥MN.請在圖中找出兩對相似三角形:
① ∽ _,② ∽ ,選擇其中一對加以證明;
(2)①如圖2,若AB=5,BC=3點M的速度為1個單位長度/秒,點N的速度為個單位長度/秒,運動的時間為t秒.當t為何值時,△DAM與△MBN相似?請說明理由;
②如果把點N的速度改為a個單位長度/秒,其它條件不變,是否存在a的值,使得△DAM與△MBN和△DCN這兩個三角形都相似?若存在,請求出a的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖①,P為△ABC所在平面上一點,且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,則點P叫作△ABC的費馬點.
(1)如果點P為銳角△ABC的費馬點,且∠ABC=60°.
①求證: △ABP∽△BCP;
②若PA=3,PC=4,求PB的長;
(2)如圖②,已知銳角△ABC,分別以AB,AC為邊向外作正△ABE和正△ACD,CE和BD相交于點P,連接AP.
①求∠CPD的度數(shù);
②求證:點P為△ABC的費馬點.
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【題目】已知,在正方形ABCD中,點E在邊AD上,點F在邊BC的延長線上,且AE=CF,連接AC,EF.
(1)如圖①,求證:EF//AC;
(2)如圖②,EF與邊CD交于點G,連接BG,BE,
①求證:△BAE≌△BCG;
②若BE=EG=4,求△BAE的面積.
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