【題目】如圖,直線y=﹣x+5與x軸交于點B,與y軸交于點C,拋物線y=﹣x2+bx+c與直線y=﹣x+5交于B,C兩點,已知點D的坐標(biāo)為(0,3)
(1)求拋物線的解析式;
(2)點M,N分別是直線BC和x軸上的動點,則當(dāng)△DMN的周長最小時,求點M,N的坐標(biāo),并寫出△DMN周長的最小值;
(3)點P是拋物線上一動點,在(2)的條件下,是否存在這樣的點P,使∠PBA=∠ODN?若存在,請直接寫出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=﹣x2+4x+5;(2)點M、N的坐標(biāo)分別為(,)、(,0),△DMN周長的最小值=;(3)點P(﹣,).
【解析】
(1)求出點B、C的坐標(biāo)、將點B、C坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式,即可求解;
(2)過點D分別作x軸和直線BC的對稱點D′(0,-3)、D″,連接D′D″交x軸、直線BC于點N、M,此時△DMN的周長最小,即可求解;
(3)tan∠ODN==tan∠PBA,確定直線BP的表達(dá)式,即可求解.
(1)y=﹣x+5,令x=0,則y=5,令y=0,則x=5,
故點B、C的坐標(biāo)分別為(5,0)、(0,5),
則二次函數(shù)表達(dá)式為:y=﹣x2+bx+5,將點B坐標(biāo)代入上式并解得:b=4,
故拋物線的表達(dá)式為:y=﹣x2+4x+5…①,
令y=0,則x=﹣1或5,
故點A(﹣1,0),而OB=OC=2,故∠OCB=45°;
(2)過點D分別作x軸和直線BC的對稱點D′(0,﹣3)、D″,
∵∠OCB=45°,則CD″∥x軸,則點D″(2,5),
連接D′D″交x軸、直線BC于點N、M,此時△DMN的周長最小,
將點D′、D″的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式:y=mx+n并解得:
直線D′D″的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式為:y=4x﹣3,
則點M、N的坐標(biāo)分別為(,)、(,0),
△DMN周長的最小值=DM+DN+MN=;
(3)如圖2,tan∠ODN==tan∠PBA,
則直線BP的表達(dá)式為:y=﹣x+s,將點B的坐標(biāo)代入上式并解得:
直線BP的表達(dá)式為:y=﹣x+…②,
聯(lián)立①②并解得:x=5或﹣(舍去5)
故:點P(﹣,).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“綠水青山就是金山銀山”,為保護(hù)生態(tài)環(huán)境,A,B兩村準(zhǔn)備各自清理所屬區(qū)域養(yǎng)魚網(wǎng)箱和捕魚網(wǎng)箱,每村參加清理人數(shù)及總開支如下表:
村莊 | 清理養(yǎng)魚網(wǎng)箱人數(shù)/人 | 清理捕魚網(wǎng)箱人數(shù)/人 | 總支出/元 |
A | 15 | 9 | 57000 |
B | 10 | 16 | 68000 |
(1)若兩村清理同類漁具的人均支出費(fèi)用一樣,求清理養(yǎng)魚網(wǎng)箱和捕魚網(wǎng)箱的人均支出費(fèi)用各是多少元;
(2)在人均支出費(fèi)用不變的情況下,為節(jié)約開支,兩村準(zhǔn)備抽調(diào)40人共同清理養(yǎng)魚網(wǎng)箱和捕魚網(wǎng)箱,要使總支出不超過102000元,且清理養(yǎng)魚網(wǎng)箱人數(shù)小于清理捕魚網(wǎng)箱人數(shù),則有哪幾種分配清理人員方案?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在坡角為33°的山坡上有一建筑物AB,其正前方矗立著一大型廣告牌,當(dāng)陽光與水平線成45°角時,測得建筑物AB落在斜坡上的影子BD的長為6米,落在廣告牌上的影子CD的長為4米,求建筑物AB的高(AB,CD均與水平面垂直,參考數(shù)據(jù):sin33°=0.54,cos33°=0.84,tan33°=0.65)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某運(yùn)動專營店為某廠家代銷一款學(xué)生足球比賽訓(xùn)練鞋(這里的代銷是指廠家先免費(fèi)提供貨源,待貨物售出后再進(jìn)行結(jié)算,未售出的由廠家負(fù)責(zé)處理),當(dāng)每雙鞋的售價為260元時,月銷售量為63雙為提高經(jīng)營利潤,該專營店準(zhǔn)備采取降價的方式進(jìn)行促銷,經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),每月的銷售量y(雙)與銷售單價x(元/雙)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示綜合考慮各種因素,每售出雙鞋需支付廠家其他費(fèi)用150元.
(1)求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)該運(yùn)動專營店要獲取最大的月利潤,售價應(yīng)定為每雙多少元?并說明理由.
(3)2019年3月底,該專營店老板清點了一下倉庫,發(fā)現(xiàn)該款學(xué)生足球比賽訓(xùn)練鞋庫存650雙,若根據(jù)(2)中獲得最大月利潤的方式進(jìn)行銷售,12月底能否銷售完這批學(xué)生足球比賽訓(xùn)練鞋?請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,射線AG為⊙O的切線,點A為切點,點C為射線AG上任意一點,連接OC交⊙O于點E,過點B作BD∥OC交⊙O于點D,連接CD,DE,OD.
(1)求證:△OAC≌△ODC;
(2)①當(dāng)∠OCA的度數(shù)為 時,四邊形BOED為菱形;
②當(dāng)∠OCA的度數(shù)為 時,四邊形OACD為正方形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,AB是⊙O的直徑,BC是弦,OD⊥BC于點F,交⊙O于點D,連接AD、CD,∠E=∠ADC.
(1)求證:BE是⊙O的切線;
(2)若BC=6,tanA =,求⊙O的半徑.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知a是正整數(shù),且關(guān)于x的一元二次方程(a﹣2)x2+4x+1=0有實數(shù)解.則a使關(guān)于y的分式方程有整數(shù)解的概率為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,二次函數(shù)與x軸、分別交于點A、B兩點(點A在點B的左邊),與y軸交于點C.連接CA、CB.
(1)直接寫出拋物線的頂點坐標(biāo) ;∠BCO= °;
(2)點P是拋物線對稱軸上一個動點, 當(dāng)PA+PC的值最小時,點P的坐標(biāo)是 ;
(3)在(2)的條件下,以點O為圓心,OA長為半徑畫⊙O,點F為⊙O上的動點,值最小,則最小值是 ;
(4)點D是直線BC上方拋物線上的一點,是否存在點D使∠BCD=∠CAO-∠ACO,若存在,求出點D的坐標(biāo),若不存在,說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知反比例函數(shù)y1=的圖象與一次函數(shù)y2=ax+b的圖象交于點A(1,4)和點B(m,﹣2),
(1)求這兩個函數(shù)的關(guān)系式;
(2)觀察圖象,寫出使得y1>y2成立的自變量x的取值范圍;
(3)如果點C與點A關(guān)于x軸對稱,求△ABC的面積.
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