Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，我們不妨把橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)稱(chēng)為夢(mèng)之點(diǎn)，例如，點(diǎn)（1，1），（﹣ 2，﹣ 2），（，），…，都是夢(mèng)之點(diǎn)，顯然夢(mèng)之點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)．

（1）若點(diǎn) P（2，b）是反比例函數(shù) (n 為常數(shù)，n ≠ 0) 的圖象上的夢(mèng)之點(diǎn)，求這個(gè)反比例函數(shù)解析式；

（2）⊙O 的半徑是 ，

①求出⊙O上的所有夢(mèng)之點(diǎn)的坐標(biāo)；

②已知點(diǎn) M（m，3），點(diǎn) Q 是（1）中反比例函數(shù) 圖象上異于點(diǎn) P 的夢(mèng)之點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q 的直線 l 與 y 軸交于點(diǎn) A，∠OAQ＝45°．若在⊙ O 上存在一點(diǎn) N，使得直線 MN ∥ l或 MN ⊥ l，求出 m 的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①⊙O上所有夢(mèng)之點(diǎn)坐標(biāo)是（1，1）或（-1，-1）；②m的取值范圍為-5≤m≤-1或1≤m≤5．

【解析】

（1）由夢(mèng)之點(diǎn)的定義可求得P點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法可求得反比例函數(shù)解析式；（2）①設(shè)⊙O上的夢(mèng)之點(diǎn)坐標(biāo)為（a，a），由圓的半徑，根據(jù)勾股定理可得到關(guān)于a的方程，可求得a的值，則可得夢(mèng)之點(diǎn)的坐標(biāo)；②分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)MN為y=-x+b時(shí)，m=b-3，當(dāng)直線MN平移至與⊙O相切時(shí)，且切點(diǎn)在第三象限時(shí)，b取得最小值，當(dāng)直線MN平移至與⊙O相切時(shí)，且切點(diǎn)在第一象限時(shí)，b取得最大值，據(jù)此可得m的取值范圍為-5≤m≤-1；當(dāng)直線MN為y=x+b時(shí)，同理可得，m的取值范圍為1≤m≤5．

（1） ∵P（2，b）是夢(mèng)之點(diǎn)，∴b=2

∴P（2，2）

將P（2，2） 代入 中得n=4

∴反比例函數(shù)解析式是

（2）①設(shè)⊙O上夢(mèng)之點(diǎn)坐標(biāo)是（，）∴∴

=1或=-1

∴⊙O上所有夢(mèng)之點(diǎn)坐標(biāo)是（1，1）或（-1，-1）

②由（1）知，異于點(diǎn)P的夢(mèng)之點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-2，-2）

由已知MN∥l或MN⊥l

∴直線MN為y=-x+b或y=x+b

當(dāng)MN為y=-x+b時(shí)，m=b-3

由圖可知，當(dāng)直線MN平移至與⊙O相切時(shí)，

且切點(diǎn)在第四象限時(shí)，b取得最小值，

此時(shí)MN 記為 ，

其中 為切點(diǎn)，為直線與y軸的交點(diǎn)

∵△O 為等要直角三角形，

∴O= ∴O=2

∴b的最小值是-2，

∴m的最小值是-5

當(dāng)直線MN平移至與⊙O相切時(shí)，且切點(diǎn)在第二象限時(shí)，

b取得最大值，此時(shí)MN 記為 ，

其中 為切點(diǎn)，為直線與y軸的交點(diǎn)。

同理可得，b的最大值為2，m的最大值為-1．

∴m的取值范圍為-5≤m≤-1．

當(dāng)直線MN為y=x+b時(shí)，

同理可得，m的取值范圍為1≤m≤5，

綜上所述，m的取值范圍為-5≤m≤-1或1≤m≤5．