Question

【題目】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∠BAC的平分線AF交CD于點E，交BC于F，CM⊥AF于M，CM的延長線交AB于點N．

（1）求證：EM=FM；

（2）求證：AC=AN．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】

（1）根據(jù)題意可得∠AED+∠DAE=90°，∠CFE+∠CAE=90°，因為∠BAC的平分線AF交CD于E，所以∠DAE=∠CAE，即∠AED=∠CFE，然后根據(jù)等腰三角形判定與性質(zhì)即可得證；

（2）通過“角邊角”證明△AMN≌△AMC，即可得AC=AN．

（1）證明：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，

∴∠ADC=90°，

∴∠AED+∠DAE=90°，∠CFE+∠CAE=90°，

又∵∠BAC的平分線AF交CD于E，

∴∠DAE=∠CAE，

∴∠AED=∠CFE，

又∵∠AED=∠CEF，

∴∠CEF=∠CFE，

又∵CM⊥AF，

∴EM=FM．

（2）證明：∵CN⊥AF，

∴∠AMC=∠AMN=90°，

在△AMN和△AMC中，

，

∴△AMN≌△AMC（SAS），

∴AC=AN．