【題目】如圖,已知直線y=﹣x+3與x軸、y軸分別交于A,B兩點(diǎn),拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P在線段OA上,從點(diǎn)O出發(fā),向點(diǎn)A以1個(gè)單位/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng);同時(shí),點(diǎn)Q在線段AB上,從點(diǎn)A出發(fā),向點(diǎn)B以 個(gè)單位/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng),連接PQ,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

(1)求拋物線的解析式;
(2)當(dāng)t為何值時(shí),△APQ為直角三角形;
(3)過(guò)點(diǎn)P作PE∥y軸,交AB于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)Q作QF∥y軸,交拋物線于點(diǎn)F,連接EF,當(dāng)EF∥PQ時(shí),求點(diǎn)F的坐標(biāo).

【答案】
(1)

解:∵y=﹣x+3與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,

∴當(dāng)y=0時(shí),x=3,即A點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),當(dāng)x=0時(shí),y=3,即B點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3).

∵將A(3,0),B(0,3)代入得: ,

解得

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3.


(2)

解:∵OA=OB=3,∠BOA=90°,

∴∠QAP=45°.

如圖①所示:∠PQA=90°時(shí).

設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,則QA= t,PA=3﹣t.

在Rt△PQA中, = ,即 = ,

解得:t=1.

如圖②所示:∠QPA=90°時(shí).

設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,則QA= t,PA=3﹣t.

在Rt△PQA中, = ,即 = ,

解得:t=

綜上所述,當(dāng)t=1或t= 時(shí),△PQA是直角三角形.


(3)

解:如圖③所示:

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t,0),則點(diǎn)E的坐標(biāo)為(t,﹣t+3),

則EP=3﹣t.點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(3﹣t,t),點(diǎn)F的坐標(biāo)為(3﹣t,﹣(3﹣t)2+2(3﹣t)+3),即F(3﹣t,4t﹣t2),

則FQ=4t﹣t2﹣t=3t﹣t2

∵EP∥FQ,EF∥PQ,

∴四邊形EFQP為平行四邊形.

∴EP=FQ,即3﹣t=3t﹣t2

解得:t1=1,t2=3(舍去).

將t=1代入得點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2,3).


【解析】(1)先求得直線AB與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo),然后將點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得到關(guān)于b、c的方程組求得b、c的值從而可得到拋物線的解析式;(2)由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)可知OB=OA,從而可求得∠BAO=45°,然后分為∠PQA=90°和∠QPA=90°兩種情況求解即可;(3)由題意可知:EP∥FQ,EF∥PQ,故此四邊形EFQP為平行四邊形,從而得到PE=FQ,然后設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t,0)則可表示出點(diǎn)Q、E、F的坐標(biāo),從而可求得PE、FQ的長(zhǎng),最后根據(jù)PE=FQ列方程求解即可.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,將矩形ABCD沿直線EF折疊,使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合,折痕交AD于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F,連接AF、CE,
(1)求證:四邊形AFCE為菱形;
(2)設(shè)AE=a,ED=b,DC=c.請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)a、b、c三者之間的數(shù)量關(guān)系式.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知,拋物線y=ax+bx+4與x軸交于點(diǎn)A(-3,0)和B(2,0),與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖1,若點(diǎn)D為CB的中點(diǎn),將線段DB繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn),點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G,當(dāng)點(diǎn)G恰好落在拋物線的對(duì)稱軸上時(shí),求點(diǎn)G的坐標(biāo);
(3)如圖2,若點(diǎn)D為直線BC或直線AC上的一點(diǎn),E為x軸上一動(dòng)點(diǎn),拋物線
對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)F,使以B,D,F(xiàn),E為頂點(diǎn)的四邊形為菱形?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,已知△ABC,AB=AC,若以點(diǎn)B為圓心,BC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,交腰AC于點(diǎn)E,則下列結(jié)論一定正確的是( )

A.AE=EC
B.AE=BE
C.∠EBC=∠BAC
D.∠EBC=∠ABE

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某校初三(1)班部分同學(xué)接受一次內(nèi)容為“最適合自己的考前減壓方式”的調(diào)查活動(dòng),收集整理數(shù)據(jù)后,老師將減壓方式分為五類,并繪制了圖1、圖2兩個(gè)不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)根據(jù)圖中的信息解答下列問(wèn)題.
(1)初三(1)班接受調(diào)查的同學(xué)共有多少名;
(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖,并計(jì)算扇形統(tǒng)計(jì)圖中的“體育活動(dòng)C”所對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù);
(3)若喜歡“交流談心”的5名同學(xué)中有三名男生和兩名女生;老師想從5名同學(xué)中任選兩名同學(xué)進(jìn)行交流,直接寫(xiě)出選取的兩名同學(xué)都是女生的概率.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,分別作BE⊥AC于E,DF⊥AC于F,已知OE=OF,CE=AF.
(1)求證:△BOE≌△DOF;
(2)若OA= BD,則四邊形ABCD是什么特殊四邊形?請(qǐng)說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā),按A→B→C的方向在AB和BC上移動(dòng),記PA=x,點(diǎn)D到直線PA的距離為y,則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是( )

A.
B.
C.
D.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】為豐富學(xué)生的校園生活,某校舉行“與愛(ài)同行”朗誦比賽,賽后整理參賽同學(xué)的成績(jī),繪制成如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖表,請(qǐng)根據(jù)圖表中的信息解答下列問(wèn)題.

組別

成績(jī)x(分)

頻數(shù)(人數(shù))

A

8.0≤x<8.5

a

B

8.5≤x<9.0

8

C

9.0≤x<9.5

15

D

9.5≤x<10

3


(1)圖中a= , 這次比賽成績(jī)的眾數(shù)落在組;
(2)請(qǐng)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;
(3)學(xué)校決定選派本次比賽成績(jī)最好的3人參加全市中學(xué)生朗誦比賽,并為參賽選手準(zhǔn)備了2件白色、1件藍(lán)色上衣和黑色、藍(lán)色、白色的褲子各1條,小軍先選,他從中隨機(jī)選取一件上衣和一條褲子搭配成一套衣服,請(qǐng)用畫(huà)樹(shù)狀圖法或列表法求出上衣和褲子搭配成不同顏色的概率.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+6x交x軸正半軸于點(diǎn)A,頂點(diǎn)為M,對(duì)稱軸MB交x軸于點(diǎn)B.過(guò)點(diǎn)C(2,0)作射線CD交MB于點(diǎn)D(D在x軸上方),OE∥CD交MB于點(diǎn)E,EF∥x軸交CD于點(diǎn)F,作直線MF.

(1)求點(diǎn)A,M的坐標(biāo).
(2)當(dāng)BD為何值時(shí),點(diǎn)F恰好落在該拋物線上?
(3)當(dāng)BD=1時(shí)
求直線MF的解析式,并判斷點(diǎn)A是否落在該直線上.
(4)②延長(zhǎng)OE交FM于點(diǎn)G,取CF中點(diǎn)P,連結(jié)PG,△FPG,四邊形DEGP,四邊形OCDE的面積分別記為S1 , S2 , S3 , 則S1:S2:S3=

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案