【題目】已知,如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,∠ABC的平分線交AD于E,交AC于F,∠CAD的角平分線AG交BF于H,交DC于G.
(1)求證:AE=AF;
(2)判斷BF與AG的位置關(guān)系,并說明理由.
(3)再找出二組相等的線段:① ; ② .
【答案】(1)見解析;(2)BF⊥AG,理由見解析;(3)EH=FH,BA=BG
【解析】
(1)根據(jù)等角的余角相等,得到∠AFB=∠BED,則∠AFB=∠AEF,即可得到AE=AF;
(2)由AE=AF,AG平分∠CAD,由三線合一定理,得到AH是等腰三角形AEF的高,即BF⊥AG;
(3)由(2)知△AEF是等腰三角形,則EH=FH,由BH是△ABG的邊AG上的高,也是角平分線,則BA=BG.
解:(1)∵∠BAC=90°,AD⊥BC于D,
∴∠ABF+∠AFB=∠CBF+∠BED=90°,
∵BF平分∠ABC,
∴∠ABF=∠CBF,
∴∠AFB=∠BED,
∵∠BED=∠AEF,
∴∠AFB=∠AEF,
∴AE=AF;
(2)在△AEF中,AE=AF,
∵AG平分∠CAD,
即AH平分∠FAE,
∴AH是等腰三角形AEF的高,
∴BF⊥AG;
(3)由(2)知,△AEF是等腰三角形,
∵AH⊥EF,
∴EH=FH,
∵BF⊥AG,BF平分∠ABC,
∴△ABG是等腰三角形,
∴AB=BG.
故答案為:EH=FH,AB=BG.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一居民樓底部B與山腳P位于同一水平線上,小李在P處測得居民樓頂A的仰角為60°,然后他從P處沿坡角為45°的山坡向上走到C處,這時點C與點A恰好在同一水平線上,點A、B、P、C在同一平面內(nèi).
(1)若BP=10m,求居民樓AB的高度;(精確到0.1,≈1.732)
(2)若PC=24m,求C、A之間的距離.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方形中,是的中點,是延長線上的一點,.
求證;
閱讀下列材料:
如圖,把沿直線平行移動線段的長度,可以變到的位置;
如圖,以為軸把翻折,可以變到的位置;
如圖,以點為中心把旋轉(zhuǎn),可以變到的位置.
像這樣,其中一個三角形是由另一個三角形按平行移動、翻折、旋轉(zhuǎn)等方法變成的,這種只改變位置,不改變形狀大小的圖形變換,叫做三角形的全等變換.
回答下列問題:
①在圖中,可以通過平行移動、翻折、旋轉(zhuǎn)中的哪一種方法使變到的位置,
答:________.
②指出圖中,線段與之間的關(guān)系.
答:________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】十一期間,小明一家一起去旅游,如圖是小明設(shè)計的某旅游景點的圖紙(網(wǎng)格是由相同的小正方形組成的,且小正方形的邊長代表實際長度100m,在該圖紙上可看到兩個標(biāo)志性景點A,B.若建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,則點A(﹣3,1),B(﹣3,﹣3),第三個景點C(1,3)的位置已破損.
(1)請在圖中畫出平面直角坐標(biāo)系,并標(biāo)出景點C的位置;
(2)平面直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點為點O,△ACO是直角三角形嗎?請判斷并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,將一塊等腰直角三角板ABC的直角頂點C置于直線l上,圖2是由圖1抽象出的幾何圖形,過A、B兩點分別作直線l的垂線,垂足分別為D、E.
(1)△ACD與△CBE全等嗎?說明你的理由.
(2)若AD=2,DE=3.5,求BE的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點O為坐標(biāo)原點,點A、B、C的坐標(biāo)分別為A(,0)、B(3,0)、C(0,5),點D在第一象限內(nèi),且∠ADB=60°,則線段CD的長的最小值是( 。
A. 2﹣2 B. 2 C. 2 D. 2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在菱形ABCD中,∠B= 60°.
(1)如圖①.若點E、F分別在邊AB、AD上,且BE=AF,求證:△CEF是等邊三角形.
(2)小明發(fā)現(xiàn),當(dāng)點E、F分別在邊AB、AD上,且∠CEF=60°時,△CEF也是等邊三角形,
并通過畫圖驗證了猜想;小麗通過探索,認(rèn)為應(yīng)該以CE= EF為突破口,構(gòu)造兩個全等三角形:小倩受到小麗的啟發(fā),嘗試在BC上截取BM =BE,并連接ME,如圖②,很快就證明了△CEF是等邊三角形.請你根據(jù)小倩的方法,寫出完整的證明過程.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知△OAB的頂點A(6,0),B(0,2),O是坐標(biāo)原點.將△OAB 繞點O按逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ODC.
(1)寫出C、D兩點的坐標(biāo);
(2)求過C、D、A三點的拋物線的解析式,并求此拋物線的頂點M的坐標(biāo);
(3)在線段AB上是否存在點N使得MA=NM?若存在,請求出點N的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足為D,AF平分∠CAB,交CD于點E,交CB于點F.若AC=3,AB=5,則CE的長為( )
A. B. C. D.
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