【題目】如圖,拋物線交軸于點(diǎn),交軸于點(diǎn),已知經(jīng)過點(diǎn)的直線的表達(dá)式為.
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式及其頂點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)如圖①,點(diǎn)是線段上的一個(gè)動點(diǎn),其中,作直線軸,交直線于,交拋物線于,作∥軸,交直線于點(diǎn),四邊形為矩形.設(shè)矩形的周長為,寫出與的函數(shù)關(guān)系式,并求為何值時(shí)周長最大;
(3)如圖②,在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn),使點(diǎn)構(gòu)成的三角形是以為腰的等腰三角形.若存在,直接寫出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
圖① 圖②
【答案】(1)拋物線的表達(dá)式為y=-x2-2x+3,頂點(diǎn)C坐標(biāo)為(-1,4);
(2)L=-4m2-12m=-4(m+)2+9;
當(dāng)m=-時(shí),最大值L=9;
(3)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-1,),(-1,-),(-1,3+),(-1,3-).
【解析】
試題(1)由直線經(jīng)過A、B兩點(diǎn)可求得這兩點(diǎn)的坐標(biāo),然后代入二次函數(shù)解析式即可求出b、c的值,從而得到解析式,進(jìn)而得到頂點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)由題意可表示出D、E的坐標(biāo),從而得到DE的長,由已知條件可得DE=EF,從而可表示出矩形DEFG的周長L,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得最大值;
(3)分別以點(diǎn)A、點(diǎn)B為圓心,以AB長為半徑畫圓,圓與對稱軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn).
試題解析:(1)直線y=x+3與x軸相交于A(-3,0 ),與y軸相交于B(0,3)
拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過A(-3,0 ),B(0,3),所以,
,
∴,
所以拋物線的表達(dá)式為y=-x2-2x+3,
∵y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,
所以,頂點(diǎn)坐標(biāo)為C(-1,4).
(2)因?yàn)?/span>D在直線y=x+3上,∴D(m,m+3).
因?yàn)?/span>E在拋物線上,∴E(m,-m2-2m+3).
DE=-m2-2m+3-(m+3)=-m2-3m.
由題意可知,AO=BO,
∴∠DAP=∠ADP=∠EDF=∠EFD=45°,
∴DE=EF.
L=4DE=-4m2-12m.
L=-4m2-12m=-4(m+)2+9.
∵a=-4<0,
∴二次函數(shù)有最大值
當(dāng)m=-時(shí),最大值L=9.
(3)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-1,),(-1,-),(-1,3+),(-1,3-).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小明與小亮玩游戲,如圖,兩組相同的卡片,每組三張,第一組卡片正面分別標(biāo)有數(shù)字1,3,5;第二組卡片正面分別標(biāo)有數(shù)字2,4,6.他們將卡片背面朝上,分組充分洗勻后,從每組卡片中各摸出一張,稱為一次游戲.當(dāng)摸出的兩張卡片的正面數(shù)字之積小于10,則小明獲勝;當(dāng)摸出的兩張卡片的正面數(shù)字之積超過10,則小亮獲勝.你認(rèn)為這個(gè)游戲規(guī)則對雙方公平嗎?請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,等邊三角形ABC的邊長為8cm,動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以秒的速度沿AC方向向終點(diǎn)C運(yùn)動,同時(shí)動點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)以秒的速度沿CB方向向終點(diǎn)B運(yùn)動,過點(diǎn)P、Q分別作邊AB的垂線段PM、QN,垂足分別為點(diǎn)M、設(shè)P、Q兩點(diǎn)運(yùn)動時(shí)間為t秒,四邊形MNQP的面積為.
為何值時(shí),為等邊三角形?
是否存在某一時(shí)刻t,使四邊形MNQP的面積S等于的面積的?若存在,求出此時(shí)t的值;若不存在,說明理由.
連接PN、QM交于點(diǎn)D,是否存在某一時(shí)刻t,使?若存在,求出此時(shí)t的值;若不存在,說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD的對角線AC,BD交于點(diǎn)F,點(diǎn)E是BD上一點(diǎn),且∠BAC=∠BDC=∠DAE.
(1)求證:△ABE∽△ACD;
(2)若BC=2,AD=6,DE=3,求AC的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠B=90°,AB=12,BC=24,動點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊AB向終點(diǎn)B以每秒2個(gè)單位長度的速度移動,動點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿邊BC以每秒4個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)C移動,如果點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、B同時(shí)出發(fā),那么△PBQ的面積S隨出發(fā)時(shí)間t(s)如何變化?寫出函數(shù)關(guān)系式及t的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,邊長為1的正方形ABCD的對角線AC,BD相交于點(diǎn)O,直角∠MPN的頂點(diǎn)P與點(diǎn)O重合,直角邊PM,PN分別與OA,OB重合,然后逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠MPN,旋轉(zhuǎn)角為θ(0°<θ<90°),PM、PN分別交AB、BC于E、F兩點(diǎn),連接EF交OB于點(diǎn)G,則下列結(jié)論中正確的是_____.
(1)EF=OE;(2)S四邊形OEBF:S正方形ABCD=1:4;(3)在旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)△BEF與△COF的面積之和最大時(shí),AE=;(4)OGBD=AE2+CF2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校要求340名學(xué)生進(jìn)行社會調(diào)查,每人須完成3﹣6份報(bào)告.調(diào)查結(jié)束后隨機(jī)抽查了20名學(xué)生每人完成報(bào)告的份數(shù),并分為四類,A:3份;B:4份;C:5份;D:6份.將各類的人數(shù)繪制成扇形圖(如圖1)和條形圖(如圖2),經(jīng)確認(rèn)扇形圖是正確的,而條形圖尚有一處錯(cuò)誤.
回答問題:
(1)寫出條形圖中存在的錯(cuò)誤,并說明理由;
(2)寫出這20名學(xué)生每人完成報(bào)告份數(shù)的眾數(shù)、中位數(shù);
(3)在求這20名學(xué)生每人完成報(bào)告份數(shù)的平均數(shù)時(shí),小靜是這樣分析的:
第一步求平均數(shù)的公式是=;
第二步在該問題中,n=4,x1=3,x2=4,x3=5,x4=6;
第三步:==4.5(份)
①小靜的分析是從哪一步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤的?
②請你幫她計(jì)算出正確的平均數(shù),并估計(jì)這340名學(xué)生共完成報(bào)告多少份.
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【題目】如圖,中,,,若以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心,將旋轉(zhuǎn)θ到的位置,使點(diǎn)B恰好落在邊上,則θ等于( )
A. B. C. D.
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【題目】如圖,AB表示路燈,CD、C′D′表示小明所在兩個(gè)不同位置:
(1)分別畫出這兩個(gè)不同位置小明的影子;
(2)小明發(fā)現(xiàn)在這兩個(gè)不同的位置上,他的影子長分別是自己身高的1倍和2倍,他又量得自己的身高為1.5米,DD′長為3米,你能幫他算出路燈的高度嗎?(B、D、D′在一條直線上)
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