Question

【題目】已知：如圖，以等邊三角形ABC一邊AB為直徑的⊙O與邊AC、BC分別交于點D、E，過點D作DF⊥BC，垂足為F．
（1）求證：DF為⊙O的切線；
（2）若等邊三角形ABC的邊長為4，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接DO．

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠A=∠C=60°．

∵OA=OD，

∴△OAD是等邊三角形．

∴∠ADO=60°，

∵DF⊥BC，

∴∠CDF=90°﹣∠C=30°，

∴∠FDO=180°﹣∠ADO﹣∠CDF=90°，

∴DF為⊙O的切線；

（2）解：∵△OAD是等邊三角形，

∴AD=AO= AB=2．

∴CD=AC﹣AD=2．

Rt△CDF中，

∵∠CDF=30°，

∴CF= CD=1．

∴DF= ，

連接OE，則CE=2．

∴CF=1，

∴EF=1．

∴S直角梯形FDOE= （EF+OD）DF= ，

∴S扇形OED= = ，

∴S陰影=S直角梯形FDOE﹣S扇形OED= ﹣ ．

【解析】（1）連接DO，要證明DF為⊙O的切線只要證明∠FDP=90°即可；（2）首先由已知可得到CD，CF的長，從而利用勾股定理可求得DF的長；再連接OE，求得CF，EF的長，從而利用S直角梯形FDOE﹣S扇形OED求得陰影部分的面積．
【考點精析】認真審題，首先需要了解等邊三角形的性質(等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°)，還要掌握扇形面積計算公式(在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形；扇形面積S=π（R2-r2）)的相關知識才是答題的關鍵．