Question

3．已知幾何體E-ABCD如圖所示，其中四邊形ABCD為矩形，AB=2，AD=$\sqrt{3}$，△ABE為等邊三角形，平面ABCD⊥平面ABE，點(diǎn)F為棱BE的中點(diǎn)，
（1）求證：BE⊥平面AFD； 
（2）求四面體D-AFC的體積．

Answer 1

分析 （1）由面面垂直的性質(zhì)證明DA⊥BE，由正三角形的性質(zhì)證明AF⊥BE，再由線面垂直的判斷得答案；
（2）利用等積法把四面體D-AFC的體積轉(zhuǎn)化為三棱錐F-ADC的體積求解．

解答 （1）證明：如圖，
∵平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE=AB，
且DA⊥AB，∴DA⊥平面ABE，則DA⊥BE，
又△ABE為等邊三角形，且F為BE的中點(diǎn)，∴AF⊥BE，
又DA∩AF=A，∴BE⊥平面AFD；
（2）解：∵四邊形ABCD為矩形，AB=2，AD=$\sqrt{3}$，
∴${S}_{△DAC}=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$，
又等邊三角形ABE的邊AB上的高h(yuǎn)=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}=\sqrt{3}$，
∴F到平面ABCD的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴${V}_{D-AFC}={V}_{F-ADC}=\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面垂直的判斷，訓(xùn)練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．