Question

12．如圖，GH是東西方向的公路北側的邊緣線，某公司準備在GH上的一點B的正北方向的A處建一倉庫，設AB=ykm，并在公路北側建造邊長為xkm的正方形無頂中轉站CDEF（其中邊EF在GH上），現(xiàn)從倉庫A向GH和中轉站分別修兩條道路AB，AC，已知AB=AC+1，且∠ABC=60°．
（1）求y關于x的函數解析式，并指出定義域；
（2）如果中轉站四堵圍墻造價為1萬元/km，兩條道路造價為3萬元/km，問：x取何值時，該公司建中轉站圍墻和兩條道路總造價M最低？

Answer 1

分析 （1）根據題意得AB=y且AC=y-1，在Rt△BCF中，BC=2CF=2x．然后在△ABC中利用余弦定理AC²=AB²+BC²-2•AB•BC•cosB的式子建立關于x、y的等式，解出用x表示y的式子，即可得到y(tǒng)關于x的函數解析式以及函數的定義域；
（2）由（1）求出的函數關系式，結合題意得出總造價M=$\frac{12{x}^{2}-3}{x-1}$-3+4x．然后換元：令x-1=t，化簡得到M=16t+$\frac{9}{t}$+25，利用基本不等式算出當t=$\frac{3}{4}$時，M的最小值為49．由此即可得出當總造價M最低時，相應的x值．

解答 解：（1）∵AB=y，AB=AC+1，∴AC=y-1．
∵在Rt△BCF中，CF=x，∠ABC=60°，
∴∠CBF=30°，可得BC=2x．
由于2x+y-1＞y，得x$＞\frac{1}{2}$．
在△ABC中，根據余弦定理AC²=AB²+BC²-2•AB•BC•cosB，
可得（y-1）²=y²+（2x）²-2y•2x•cos60°，
即（y-1）²=y²+4x²-2xy，解得y=$\frac{4{x}^{2}-1}{2（x-1）}$．
∵y＞0且x$＞\frac{1}{2}$，∴x＞1．
可得y關于x的函數解析式為y=$\frac{4{x}^{2}-1}{2（x-1）}$，（x＞1）．函數的定義域為（1，+∞）．
（2）由題意，可得總造價M=3[y+（y-1）]+4x=$\frac{12{x}^{2}-3}{x-1}$-3+4x．
令x-1=t，則M=$\frac{12（t+1）^{2}-3}{t}$-3+4（t+1）=16t+$\frac{9}{t}$+25≥$2\sqrt{16t•\frac{9}{t}}+25$=49，
當且僅當16t=$\frac{9}{t}$，即t=$\frac{3}{4}$時，M的最小值為49．
此時x=t+1=$\frac{7}{4}$，y=$\frac{4{x}^{2}-1}{2（x-1）}$=$\frac{15}{2}$．
答：當x的值為$\frac{7}{4}$時，該公司建中轉站圍墻和道路總造價M最低．

點評 本題主要考查函數的應用問題，根據條件建立函數關系是解決本題的關鍵．同時考查了運算基本不等式求最值和余弦定理及其應用等知識，屬于中檔題．