Question

10．已知x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x+3y≤5π}\\{x-y≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，則sin（$\frac{x}{4}$-$\frac{y}{2}$）的取值范圍是[-sin$\frac{5π}{16}$，1]．

Answer 1

分析 利用線性規(guī)劃求出$\frac{x}{4}-\frac{y}{2}$的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性得出sin（$\frac{x}{4}$-$\frac{y}{2}$）的取值范圍．

解答 解：作出約束條件表示的可行域如圖：

令z=$\frac{x}{4}-\frac{y}{2}$得y=$\frac{x}{2}$-2z，
∴當直線y=$\frac{x}{2}$-2z經(jīng)過點A時截距最大，即z最小，
當直線y=$\frac{x}{2}$-2z經(jīng)過點B時截距最小，即z最大．
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{x+3y=5π}\end{array}\right.$得A（$\frac{5π}{4}$，$\frac{5π}{4}$），
∴z的最小值為$\frac{5π}{16}-\frac{5π}{8}$=-$\frac{5π}{16}$，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=0}\\{x+3y=5π}\end{array}\right.$得B（5π，0）．
∴z的最大值為$\frac{5π}{4}$．
∴-$\frac{5π}{16}$≤$\frac{x}{4}-\frac{y}{2}$≤$\frac{5π}{4}$．
∴當$\frac{x}{4}-\frac{y}{2}$=$\frac{π}{2}$時，sin（$\frac{x}{4}-\frac{y}{2}$）取得最大值1．
當$\frac{x}{4}-\frac{y}{2}$=-$\frac{5π}{16}$時，sin（$\frac{x}{4}-\frac{y}{2}$）取得最小值sin（-$\frac{5π}{16}$）=-sin$\frac{5π}{16}$，
故答案為[-sin$\frac{5π}{16}$，1]．

點評 本題考查了簡單的線性規(guī)劃，正弦函數(shù)的圖形與性質(zhì)，屬于中檔題．