Question

9．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N₊）
（1）求a₂，a₃，a₄，a₅；
（2）歸納猜想出通項(xiàng)公式a_n，并且用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

分析 （1）利用條件，代入可求a₂，a₃，a₄，a₅；
（2）歸納猜想出通項(xiàng)公式a_n=2ⁿ-1，再用數(shù)學(xué)歸納法證明．

解答 解：（1）a₂=3，a₃=7，a₄=15，a₅=31，
（2）歸納猜想出通項(xiàng)公式a_n=2ⁿ-1，
①當(dāng)n=1時，a₁=1=2¹-1，成立，
②假設(shè)n=k時成立，即a_k=2^k-1，
則當(dāng)n=k+1時，由a_n+1=2a_n+1（n∈N₊）
得：a_k+1=2a_k+1=2（2^k-1）+1=2^k+1-2+1=2^k+1-1，
所以n=k+1時也成立；
綜合①②，對n∈N^*等式都成立，從而得證．

點(diǎn)評 此題主要考查歸納法的證明，歸納法一般三個步驟：（1）驗(yàn)證n=1成立；（2）假設(shè)n=k成立；（3）利用已知條件證明n=k+1也成立，從而求證，這是數(shù)列的通項(xiàng)一種常用求解的方法．