Question

7．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=$\frac{3}{2}$a_n+n-3，求證：數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列．

Answer 1

分析 根據(jù)題意和${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，求出a₁=4，數(shù)列{a_n}的遞推公式，代入a_n-1化簡(jiǎn)后，由等比數(shù)列的定義證明即可．

解答 證明：由題意得，S_n=$\frac{3}{2}$a_n+n-3，
所以當(dāng)n=1時(shí)，S₁=$\frac{3}{2}$a₁+1-3，解得a₁=4，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（$\frac{3}{2}$a_n+n-3）-（$\frac{3}{2}$a_n-1+n-1-3），
化簡(jiǎn)得a_n=3a_n-1-2（n≥2），
所以a_n-1=3a_n-1-2-1=3（a_n-1-1），
因?yàn)閍₁=4，所以a₁-1=3≠0，則$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n-1}-1}=3$，
所以數(shù)列{a_n-1}是3為首項(xiàng)和公比的等比數(shù)列．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)公式的關(guān)系：${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，以及等比數(shù)列的定義的應(yīng)用，考查化簡(jiǎn)、變形能力．