Question

12．已知F₁，F(xiàn)₂為橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$的左、右焦點(diǎn)，M為橢圓上動點(diǎn)，有以下四個(gè)結(jié)論：
①|(zhì)MF₂|的最大值大于3；
②|MF₁|•|MF₂|的最大值為4；
③∠F₁MF₂的最大值為60°；
④若動直線l垂直y軸，交此橢圓于A、B兩點(diǎn)，P為l上滿足|PA|•|PB|=2的點(diǎn)，則點(diǎn)P的軌跡方程為$\frac{x^2}{2}+\frac{{2{y^2}}}{3}=1$或$\frac{x^2}{6}+\frac{{2{y^2}}}{9}=1$．
以上結(jié)論正確的序號為②③④．

Answer 1

分析 由橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，可得a=2，$b=\sqrt{3}$，c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=1，左、右焦點(diǎn)分別為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）．
①|(zhì)MF₂|≤a+c，即可判斷出正誤；
②由|MF₁|+|MF₂|=2×2=4≥$2\sqrt{|M{F}_{1}||M{F}_{2}|}$，即可判斷出正誤．
③當(dāng)點(diǎn)M取短軸的一個(gè)端點(diǎn)時(shí)，∠F₁MF₂取得最大值，取M$（0，\sqrt{3}）$，則tan$\frac{1}{2}$∠F₁MF₂=$\frac{c}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求出即可判斷出正誤．
④設(shè)P（x，y），A（x₁，y），B（-x₁，y），由|PA|•|PB|=2，可得|x-x₁||x+x₁|=2，即$|{x}^{2}-{x}_{1}^{2}|$=2，又$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，代入即可判斷出正誤．

解答 解：由橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，可得a=2，$b=\sqrt{3}$，c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=1，左、右焦點(diǎn)分別為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）．
①|(zhì)MF₂|≤a+c=3，因此不正確；
②由|MF₁|+|MF₂|=2×2=4≥$2\sqrt{|M{F}_{1}||M{F}_{2}|}$，可得|MF₁|•|MF₂|≤4，當(dāng)且僅當(dāng)|MF₁|=|MF₂|=2時(shí)取等號．因此正確．③當(dāng)點(diǎn)M取短軸的一個(gè)端點(diǎn)時(shí)，∠F₁MF₂取得最大值，取M$（0，\sqrt{3}）$，則tan$\frac{1}{2}$∠F₁MF₂=$\frac{c}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，可得$\frac{1}{2}$∠F₁MF₂=30^°，因此∠F₁MF₂的最大值為60°，因此正確．
④設(shè)P（x，y），A（x₁，y），B（-x₁，y），∵|PA|•|PB|=2，∴|x-x₁||x+x₁|=2，即$|{x}^{2}-{x}_{1}^{2}|$=2，又$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，可得${x}_{1}^{2}$=4$（1-\frac{{y}^{2}}{3}）$，代入可得$|{x}^{2}-4（1-\frac{{y}^{2}}{3}）|=2$，化為P的軌跡方程為$\frac{x^2}{2}+\frac{{2{y^2}}}{3}=1$或$\frac{x^2}{6}+\frac{{2{y^2}}}{9}=1$，正確．
以上結(jié)論正確的序號為②③④．
故答案為：②③④．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長問題、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．