Question

13．給出如圖算法：
試問：當(dāng)循環(huán)次數(shù)為n（n∈N^*）時(shí)，若S＜M對(duì)一切n（n∈N^*）都恒成立，求M的最小值．

Answer 1

分析 由循環(huán)語句知，程序的功能是計(jì)算并輸出$S=\frac{2}{1×2}+\frac{2}{2×3}+…+\frac{2}{n（n+1）}$，利用裂項(xiàng)相消法，求出S的表達(dá)式，并分析其單調(diào)性，可得S＜2，進(jìn)而得到滿足條件的M的最小值．

解答 解：由循環(huán)語句知，程序的功能是計(jì)算并輸出$S=\frac{2}{1×2}+\frac{2}{2×3}+…+\frac{2}{n（n+1）}$…（4分）
所以$S=2[（\frac{1}{1}-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+…+（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$=$2（1-\frac{1}{n+1}）$…（10分）
記$f（x）=2-\frac{2}{x+1}$，易知f（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞增，
所以  f（x）＜2，
所以對(duì)一切n（n∈N^*），都有S＜2，…（12分）
所以M≥2，即M的最小值為2．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)恒成立問題，數(shù)列求和，循環(huán)語句，是算法，數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用，難度中檔．