Question

12．已知定點(diǎn)A（1，0），動(dòng)點(diǎn)P在圓B：（x+1）²+y²=16上，線段PA的中垂線為直線l，直線l交直線PB于點(diǎn)Q，動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡為曲線E．
（Ⅰ）求曲線E的方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)P在第二象限，且相應(yīng)的直線l與曲線E和拋物線C：y=-$\frac{1}{32}$x²都相切，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用垂直平分線的性質(zhì)可得|QA|=|QP|，由|QB|+|QP|=4，可得|QB|+|QA|=4，利用橢圓的定義可得點(diǎn)Q的軌跡是一個(gè)橢圓；
（Ⅱ）設(shè)l：y=kx+m代入橢圓、拋物線的方程，利用判別式等于0，A與P關(guān)于直線l對稱，即可求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（Ⅰ）由條件知：|QA|=|QP|，
∵|QB|+|QP|=4，
∴|QB|+|QA|=4，
∵|AB|=2＜4，
所以點(diǎn)Q的軌跡是以B，A為焦點(diǎn)的橢圓，
∵2a=4，2c=2，∴b²=3，
∴曲線E的方程是$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（Ⅱ）由題意，設(shè)l：y=kx+m①，代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1得（4k²+3）x²+8kmx+4（m²-3）=0，
∴△₁=（8km）-4（4k²+3）×4（m²-3）=0，
∴4k²-m²+3=0②
把①代入：y=-$\frac{1}{32}$x²，得：$\frac{1}{32}$x²+kx+m=0，
由△₂=${k}^{2}-4×\frac{1}{32}×m$=0，得m=8k²③＞
由②③解得k=±$\frac{1}{2}$，m=2．
設(shè)P（x₀，y₀），則x₀＜0，y₀＞0
∵A與P關(guān)于直線l對稱，k_AP＜0，
∴k＞0，∴k=$\frac{1}{2}$，
∴l(xiāng)：y=$\frac{1}{2}$x+2，則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{y}_{0}}{2}=\frac{1}{2}×\frac{{x}_{0}+1}{2}+2}\\{\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-1}×\frac{1}{2}=-1}\end{array}\right.$，∴x₀=-1，y₀=4，
經(jīng)檢驗(yàn)P（-1，4）在圓C上．
故所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（-1，4）．

點(diǎn)評 本題綜合考查了圓與橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程、線段的垂直平分線、直線與橢圓、拋物線相切等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，考查了數(shù)形結(jié)合的能力、推理能力、計(jì)算能力．