Question

18．設向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$，1），$\overrightarrow$=（x，-3），且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，則向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$的夾角為$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 利用兩個向量垂直的性質求得x，設向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$的夾角為θ，則由cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|}$ 的值，求得θ的值．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$，1），$\overrightarrow$=（x，-3），且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，∴$\sqrt{3}$x-3=0，∴x=$\sqrt{3}$，
∴$\overrightarrow$=（$\sqrt{3}$，-3），$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$=（2$\sqrt{3}$，-2），設向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$的夾角為θ，
則cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|}$=$\frac{6-2}{2•\sqrt{12+4}}$=$\frac{1}{2}$，∴θ=$\frac{π}{3}$，
故答案：$\frac{π}{3}$．

點評 本題主要考查兩個向量垂直的性質，兩個向量坐標形式的運算，兩個向量夾角公式的應用，屬于基礎題．