Question

12．求證：（ac+bd）²≤（a²+b²）（c²+d²）．

Answer 1

分析 解法1 分析法：分析使不等式成立的充分條件，經(jīng)過分析，使不等式成立的充分條件顯然成立，從而證得結(jié)論．
解法2 綜合法：利用重要不等式 a²d²+b²c²≥2abcd，把（ac+bd）²=a²c²+b²d²+2abcd 放大，即得要證的不等式．
解法3 作差法：把（a²+b²）（c²+d²）-（ac+bd）²  展開化簡(jiǎn)化成完全平方的形式判斷符號(hào)，可得其值大于或等于0，從而證得不等式成立．

解答 證明：解法1 （分析法）要證（ac+bd）²≤（a²+b²）（c²+d²），（2分）
即證：a²c²+b²d²+2abcd≤a²c²+a²d²+b²c²+b²d² ，（4分）
即證：2abcd≤a²d²+b²c² ，（6分）
即證：0≤a²d²+b²c²-2abcd=（ad+bc）²，（8分）
上式明顯成立．（10分）  故（ac+bd）²≤（a²+b²）（c²+d²）（12分）
解法2 （綜合法）因?yàn)閍²d²+b²c²≥2abcd（重要不等式）（3分）
所以（ac+bd）²=a²c²+b²d²+2abcd（6分）≤a²c²+a²d²+b²c²+b²d²（9分）=（a²+b²）（c²+d²）（12分）
解法3 （作差法）因?yàn)椋╝²+b²）（c²+d²）-（ac+bd）²（2分）=（a²c²+a²d²+b²c²+b²d²）-（a²c²+b²d²+2abcd）（5分）
=b²c²+a²d²-2abcd（8分）=（b²c²-a²d²）²≥0（10分）
所以（ac+bd）²≤（a²+b²）（c²+d²）． （12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查用分析法、綜合法、作差比較法證明不等式，式子的變形時(shí)解題的關(guān)鍵．