Question

8．求證不等式：xlnx＞-x²+2x-1-$\frac{1}{e}$．

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)f（x）=xlnx，求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得極小值，且為最小值；g（x）=-x²+2x-1-$\frac{1}{e}$，配方求得最大值，比較即可得證，注意等號(hào)不成立．

解答 證明：由函數(shù)f（x）=xlnx，可得導(dǎo)數(shù)為
f′（x）=lnx+1，由f′（x）=0，可得x=$\frac{1}{e}$，
當(dāng)x＞$\frac{1}{e}$時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增；
當(dāng)0＜x＜$\frac{1}{e}$時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減．
可得f（x）在x=$\frac{1}{e}$處取得極小值，且為最小值-$\frac{1}{e}$；
又g（x）=-x²+2x-1-$\frac{1}{e}$=-（x-1）²-$\frac{1}{e}$，
當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)g（x）取得最大值-$\frac{1}{e}$．
由于最值的取得，不同時(shí)成立，
則xlnx＞-x²+2x-1-$\frac{1}{e}$成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，注意運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)法，求得最值，比較最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．