Question

13．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=AA_l=2，∠ABC=120°，點(diǎn)P在線段AC₁上，且AP=2PC_l，M為線段AC的中點(diǎn)．
（I）證明：BM∥平面B₁CP；
（Ⅱ）求直線AB₁與平面B₁CP所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （I）連結(jié)BC₁交B₁C于F，連結(jié)MC₁交CP于N，連結(jié)FN，證明FN為△BC₁M的中位線即可得出BM∥FN，于是結(jié)論得證；
（II）連結(jié)MF，過M作MG⊥CP于G點(diǎn)，連結(jié)FG，則可證明MG⊥平面B₁CP，由于AB₁∥MF，故而∠MFG為直線AB₁與平面B₁CP所成角，利用勾股定理求出FG，MF得出線面角的余弦值．

解答 證明：（I）連結(jié)BC₁交B₁C于F，連結(jié)MC₁交CP于N，連結(jié)FN，
∵四邊形BCC₁B₁是矩形，∴F為BC₁的中點(diǎn)．
取AP的中點(diǎn)Q，連結(jié)MQ，
∵M(jìn)Q是△APC的中位線，∴MQ∥PC，
又AP=2PC_l，∴$\frac{{C}_{1}P}{{C}_{1}Q}=\frac{1}{2}$，∴$\frac{{C}_{1}N}{{C}_{1}M}$=$\frac{{C}_{1}P}{{C}_{1}Q}=\frac{1}{2}$，即N為C₁M的中點(diǎn)．
∴FN為△C₁BM的中位線，
∴FN∥BM，又FN?平面B₁CP，BM?平面B₁CP，
∴BM∥平面B₁CP．
（II）連結(jié)MF，過M作MG⊥CP于G點(diǎn)，連結(jié)FG，
∵BM⊥AC，BM⊥CC₁，∴BM⊥平面ACC₁，
∵BM∥FN，∴FN⊥平面ACC₁．∴FN⊥MG．
又MG⊥PC，F(xiàn)N∩PC=N，
∴MG⊥平面B₁PC，
又AB₁∥MF，
∴∠MFG為直線AB₁與平面B₁CP所成角，
∵AB=BC=AA₁=2，∠ABC=120°，∴AB₁=2$\sqrt{2}$，CM=$\frac{1}{2}AC$=$\sqrt{3}$，
∴MF=$\sqrt{2}$，MG=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，∴FG=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．
∴cos∠MFG=$\frac{FG}{MF}$=$\frac{\sqrt{14}}{7}$．
∴直線AB₁與平面B₁CP所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{14}}{7}$．

點(diǎn)評 本題考查了線面平行的判定，線面垂直的判定，線面角的計(jì)算，空間向量的應(yīng)用，屬于中檔題．