Question

【題目】如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，M1分別是棱AD和A1D1的中點(diǎn)．

（1）求證：四邊形BB1M1M為平行四邊形；

（2）求證：∠BMC＝∠B1M1C1．

Answer 1

【答案】（1）證明詳見解析；（2）證明詳見解析．

【解析】

（1）利用正方體的性質(zhì)，根據(jù)平行四邊形的定義與性質(zhì)證明即可；（2）根據(jù)正方體的性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)可證明，從而可得結(jié)果.

（1）在正方形ADD1A1中，M、M1分別為AD、A1D1的中點(diǎn)，

∴MM1∥AA1，MM1=AA1．

又∵AA1∥BB1，AA1=BB1，

∴MM1∥BB1，且MM1＝BB1，

∴四邊形BB1M1M為平行四邊形．

（2）法一：由（1）知四邊形BB1M1M為平行四邊形，

∴B1M1∥BM．同理可得四邊形CC1M1M為平行四邊形，

∴C1M1∥CM．

由平面幾何知識(shí)可知，∠BMC和∠B1M1C1都是銳角．

∴∠BMC＝∠B1M1C1．

法二：由（1）知四邊形BB1M1M為平行四邊形，

∴B1M1＝BM．

同理可得四邊形CC1M1M為平行四邊形，

∴C1M1＝CM．

又∵B1C1＝BC，∴△BCM≌△B1C1M1．

∴∠BMC＝∠B1M1C1．