Question

20．已知拋物線(xiàn)的方程是y²=4x，過(guò)定點(diǎn)P（-2，-1）作直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)y²=4x有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么直線(xiàn)l的斜率的取值集合是$\left\{{-\frac{1}{2}，0，1}\right\}$．

Answer 1

分析 設(shè)直線(xiàn)方程為：y=k（x+2）-1，代入拋物線(xiàn)方程得k²x²+（4k²-2k-4）x+4k²-4k+1=0（*），直線(xiàn)與拋物線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于（*）只有一個(gè)根，由此能求出結(jié)果．

解答 解：由題意可設(shè)直線(xiàn)方程為：y=k（x+2）-1，
代入拋物線(xiàn)方程整理可得k²x²+（4k²-2k-4）x+4k²-4k+1=0（*），
直線(xiàn)與拋物線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于（*）只有一個(gè)根，
①k=0時(shí)，y=1符合題意；
②k≠0時(shí)，△=（4k²-2k-4）²-4k²（4k²-4k+1）=0，整理，得2k²-k-1=0，
解得k=-$\frac{1}{2}$或k=1．
綜上可得，k=-$\frac{1}{2}$或k=1或k=0時(shí)，直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)．
故答案為：$\left\{{-\frac{1}{2}，0，1}\right\}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握只有一個(gè)公共點(diǎn)的概念，即直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切或者直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸平行，易錯(cuò)點(diǎn)在于忽視與對(duì)稱(chēng)軸平行的情況，屬于中檔題．