Question

4．設(shè)f（x）=|x-a|，（a∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)-2≤x≤3時(shí)，f（x）≤4成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若存在實(shí)數(shù)x，使得f（x-a）-f（x+a）≤2a-1成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)-2≤x≤3時(shí)，f（x）≤4成立，可得x-4≤a≤x+4，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）存在實(shí)數(shù)x，使得f（x-a）-f（x+a）≤2a-1成立，轉(zhuǎn)化為-2|a|≤2a-1，分類討論，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)-2≤x≤3時(shí)，f（x）≤4成立，即|x-a|≤4，
 可得-4≤x-a≤4，
∴x-4≤a≤x+4，
∵-2≤x≤3，
∴-1≤a≤2；           …（5分）
（Ⅱ）∵f（x-a）-f（x+a）≤2a-1成立，
∴-2|a|≤|x-2a|-|x|≤2|a|，
∵存在實(shí)數(shù)x，使得f（x-a）-f（x+a）≤2a-1成立，
∴-2|a|≤2a-1．
a≥0時(shí)，-2a≤2a-1，解得a≥$\frac{1}{4}$；
a＜0時(shí)，2a≤2a-1，矛盾，舍去；
綜上，a≥$\frac{1}{4}$      …（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查絕對(duì)值不等式，考查存在性問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．