Question

17．已知f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-cos²x+$\frac{1}{2}$，△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且f（A）=1．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）求角A的大�。�
（Ⅲ）若a=7，b=5，求c的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化簡函數(shù)，利用三角函數(shù)圖象及性質(zhì)求解單調(diào)遞增區(qū)間．
（Ⅱ）根據(jù)f（A）=1求解A的大小．
（Ⅲ）由（2）可知A，a=7，b=5，利用余弦定理求c的值．

解答 解：（Ⅰ）由題意：f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-cos²x+$\frac{1}{2}$，
化簡：f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$，
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x$-\frac{1}{2}$cos2x
=sin（2x-$\frac{π}{6}$）
根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可得：2x-$\frac{π}{6}$∈[$2kπ-\frac{π}{2}$，$2kπ+\frac{π}{2}$]（k∈Z）是單調(diào)增區(qū)間．即$2kπ-\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤
$2kπ+\frac{π}{2}$，解得：kπ-$\frac{π}{6}≤$x≤kπ+$\frac{π}{3}$
所以：f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]（k∈Z）．
（Ⅱ）由（1）可知：f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$），f（A）=1，
則有：sin（2A-$\frac{π}{6}$）=1，解得：A=$\frac{π}{3}$．
（Ⅲ）由（2）可知A=$\frac{π}{3}$，a=7，b=5，
由余弦定理：${a}^{2}={c}^{2}+^{2}-2cbcos\frac{π}{3}$
解得：c=8
故a=7，b=5時，c的值為8．

點評 本題主要考察了三角函數(shù)的化簡能力和性質(zhì)的運用，余弦定理的計算．屬于基礎(chǔ)題．