Question

3．某農科所對冬季晝夜溫差大小與某反季節(jié)大豆新品種發(fā)芽多少之間的關系進行分析研究，他們分別記錄了11月1日至11月5日的每天晝夜溫差與實驗室每天每100顆種子中的發(fā)芽數，得到如表資料：

日期	11月1日	11月2日	11月3日	11月4日	11月5日
溫差x（℃）	8	11	12	13	10
發(fā)芽數y（顆）	16	25	26	30	23

設農科所確定的研究方案是：先從這五組數據中選取2組，用剩下的3組數據求線性回歸方程，再對被選取的2組數據進行檢驗．
（1）求選取的2組數據恰好是不相鄰2天數據的概率；
（2）若選取的是11月1日與11月5日的兩組數據，請根據11月2日至11月4日的數據，求出y關于x的線性回歸方程$\widehat{y}$=$\widehat$x+$\widehat{a}$；
（3）若由線性回歸方程得到的估計數據與所選出的檢驗數據的誤差均不超過2顆，則認為得到的線性回歸方程是可靠的，試問（2）中所得的線性回歸方程是否可靠？
（注：$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n•\overline{x}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n•{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$，$\hat a=\overline y-\hat b\overline x$）

Answer 1

分析 （1）根據題意列舉出從5組數據中選取2組數據共有10種情況，每種情況都是可能出現的，滿足條件的事件包括的基本事件有4種．根據等可能事件的概率做出結果．
（2）根據所給的數據，先做出x，y的平均數，即做出本組數據的樣本中心點，根據最小二乘法求出線性回歸方程的系數，寫出線性回歸方程．
（3）根據估計數據與所選出的檢驗數據的誤差均不超過2顆，就認為得到的線性回歸方程是可靠的，根據求得的結果和所給的數據進行比較，得到所求的方程是可靠的．

解答 解：（1）設抽到不相鄰兩組數據為事件A，因為從5組數據中選取組數據共有10種情況，每種情況都是等可能出現的，其中抽到相鄰兩組數據的情況有4種，
所以P（A）=1-0.4=0.6．
故選取的組數據恰好是不相鄰天數據的概率是0.6；
（2）由數據，求得$\overline{x}$=$\frac{1}{3}$（11+13+12）=12，$\overline{y}$=$\frac{1}{3}$（25+30+26）=27，
由公式求得$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n•\overline{x}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n•{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{977-972}{434-432}$=$\frac{5}{2}$，$\hat a=\overline y-\hat b\overline x$=-3．
所以關于x的線性回歸方程為y=$\frac{5}{2}$x-3．
（3）當x=10時，y=$\frac{5}{2}$x-3=22，|22-23|＜2，
同樣，當x=8時，y=$\frac{5}{2}$x-3=17，|17-16|＜2．
所以，該研究所得到的線性回歸方程是可靠的．

點評 本題考查等可能事件的概率，考查線性回歸方程的求法，考查最小二乘法，考查估計驗算所求的方程是否是可靠的，是一個綜合題目．