Question

12．如圖展示了一個由區(qū)間（0，1）到實數集R的映射過程：區(qū)間（0，1）中的實數m對應數軸上的點M，如圖1；將線段AB圍成一個圓，使兩端點A、B恰好重合，如圖2；再將這個圓放在平面直角坐標系中，使其圓心在y軸上，點A的坐標為（0，1），如圖3；圖3中直線AM與x軸交于點N（n，0），則m的象就是n，記作f（m）=n．
（1）求方程f（x）=0的解；
（2）下列說法正確命題的序號是③④（填上所有正確命題的序號）
①$f（{\frac{1}{4}}）=1$；
②f（x）是奇函數；
③f（x）在定義域上單調遞增；
④f（x）的圖象關于點$（{\frac{1}{2}，0}）$對稱；
（3）求y=f（x）的解析式．

Answer 1

分析 借助于圖形來看四個選項，先利用f（$\frac{1}{4}$）=-1，判斷出①錯；
在有實數m所在區(qū)間（0，1）不關于原點對稱，知②錯；
從圖形上可得f（x）在定義域上單調遞增，③對；
先找到f（$\frac{1}{2}$）=0，再利用圖形判斷④對

解答 解：如圖，（1）方程f（x）=0，即N（0，0），M在A的正下方，
即有AM的弧長為$\frac{1}{2}$，即m=$\frac{1}{2}$，解得x=$\frac{1}{2}$；
（2）因為M在以（1，1-$\frac{1}{2π}$）為圓心，$\frac{1}{2π}$為半徑的圓上運動，
對于①當m=$\frac{1}{4}$時．M的坐標為（$-\frac{1}{2π}$，1-$\frac{1}{2π}$），直線AM方程y=x+1，
所以點N的坐標為（-1，0），故f（$\frac{1}{4}$）=-1，即①錯．
對于②，因為實數m所在區(qū)間（0，1）不關于原點對稱，
所以f（x）不存在奇偶性．故②錯．
對于③，當實數m越來越大時，
如圖直線AM與x軸的交點N（n，0）也越來越往右，
即n也越來越大，所以f（x）在定義域上單調遞增，即③對．
對于④當實數m=$\frac{1}{2}$時，對應的點在點A的正下方，
此時點N（0，0），所以f（$\frac{1}{2}$）=0，
再由圖形可知f（x）的圖象關于點（$\frac{1}{2}$，0）對稱，即④對．
故答案為：$\frac{1}{2}$； ③④．

點評 本題考查了在新定義的條件下解決函數問題，是一道很好的題．關于新定義型的題，關鍵是理解定義，并會用定義來解題