Question

2．如圖，在三棱錐D-ABC中，已知△BCD是正三角形，平面ABC⊥平面BCD，AB=BC=a，AC=$\sqrt{2}$a，E為BC的中點，F(xiàn)在棱AC上，且AF=3FC．
（1）求三棱錐D-ABC的體積；
（2）求證：AC⊥平面DEF；
（3）若M為DB中點，N在棱AC上，且CN=$\frac{3}{8}$CA，求證：MN∥平面DEF．

Answer 1

分析 （1）由已知可求面積S_△BCD的值，利用勾股定理可求AB⊥BC，進(jìn)而可求AB⊥平面BCD，即可計算得解三棱錐V_D-ABC=V_A-BCD的值．
（2）取AC的中點H，要證明AC⊥平面DEF，可先證DE⊥AC，再證明EF⊥AC即可．
（3）連接CM，設(shè)CM∩DE=O，連接OF，可求CO=$\frac{2}{3}$CM，利用線面平行的判定定理即可證明．

解答 解：（1）∵△BCD是正三角形，且AB=BC=a，
∴S_△BCD=$\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$．
∵AC=$\sqrt{2}$a，∴AC²=AB²+BC²，∴AB⊥BC，
又∵平面ABC⊥平面BCD，且交線為BC，AB?平面ABC，
∴AB⊥平面BCD，
∴V_D-ABC=V_A-BCD=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}•a$=$\frac{\sqrt{3}}{12}{a}^{3}$…4分
（2）證明：取AC的中點H，∵AB=BC，∴BH⊥AC．
∵AF=3FC，∴F為CH的中點．
∵E為BC的中點，∴EF∥BH．則EF⊥AC．
∵△BCD是正三角形，∴DE⊥BC．
∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥DE．
∵AB∩BC=B，∴DE⊥平面ABC．∴DE⊥AC．
∵DE∩EF=E，∴AC⊥平面DEF．…8分
（3）當(dāng)CN=$\frac{3}{8}$CA時，連接CM，設(shè)CM∩DE=O，連接OF，
∵O為△BCD的垂心，∴CO=$\frac{2}{3}$CM，
當(dāng)CF=$\frac{2}{3}$CN時，MN∥OF，OF?平面DEF，MN?平面DEF，
∴MN∥平面DEF．…12分

點評 本題主要考查了直線與平面垂直的判定，棱錐的體積的求法，直線與平面平行的判定，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．