Question

11．已知函數(shù)f（x）=sinx-2cosx，當(dāng)x=α?xí)rf（x）取得最大值，則cosα=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 f（x）解析式利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，由x=α?xí)r，函數(shù)f（x）取得最大值，得到sinα-2cosα=$\sqrt{5}$，與sin²α+cos²α=1聯(lián)立即可求出cosα的值．

解答 解：f（x）=sinx-2cosx=$\sqrt{5}$（$\frac{\sqrt{5}}{5}$sinx-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$cosx）=$\sqrt{5}$sin（x-θ）
∵x=α?xí)r，函數(shù)f（x）取得最大值，
∴sin（α-θ）=1，即sinα-2cosα=$\sqrt{5}$，
又sin²α+cos²α=1，
聯(lián)立得（2cosα+$\sqrt{5}$）²+cos²α=1，解得cosα=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
故答案為：-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點評 此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及正弦函數(shù)的定義域與值域，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．