Question

10．已知函數(shù)f（x）=asin（x-1）-lnx在區(qū)間（0，1）上為減函數(shù)，其中a∈R．
（1）求a的取值范圍；
（2）證明：$sin\frac{1}{2^2}+sin\frac{1}{3^2}+…+sin\frac{1}{{{{（n+1）}^2}}}＜ln2$．

Answer 1

分析 （1）先求導(dǎo)，再根據(jù)f（x）=asin（x-1）-lnx在區(qū)間（0，1）上為減函數(shù)，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的最值，問題得以解決；
（2）取a=1得到sin（1-x）＜ln$\frac{1}{x}$，取1-x=$\frac{1}{（n+1）^{2}}$得到sin$\frac{1}{（n+1）^{2}}$＜ln$\frac{（n+1）^{2}}{n（n+2）}$，累加和根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和放縮法即可證明．

解答 解：（1）∵f（x）=asin（x-1）-lnx在區(qū)間（0，1）上為減函數(shù)，
∴f′（x）=acos（x-1）-$\frac{1}{x}$≤0，在x∈（0，1）恒成立，
即a≤$\frac{1}{xcos（x-1）}$，在x∈（0，1）恒成立，
令g（x）=$\frac{1}{xcos（x-1）}$，
∴g′（x）=$\frac{xsin（x-1）-cos（x-1）}{{x}^{2}co{s}^{2}（x-1）}$＜0，
∴g（x）在（0，1）單調(diào)遞減，
∴g（x）＞g（1），
∴a≤g（1）=1，
∴a的取值范圍為（-∞，1]，
（2）∵f（x）在x∈（0，1）上單調(diào)遞減，取a=1，
∴f（x）=sin（x-1）-lnx＞f（1）=0，
∴sin（x-1）＞lnx，
∴sin（1-x）＜ln$\frac{1}{x}$
取1-x=$\frac{1}{（n+1）^{2}}$得到sin$\frac{1}{（n+1）^{2}}$＜ln$\frac{（n+1）^{2}}{n（n+2）}$，
∴sin$\frac{1}{{2}^{2}}$+sin$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+sin$\frac{1}{（n+1）^{2}}$＜ln[$\frac{{2}^{2}}{1×（1+2）}$•$\frac{{3}^{2}}{2×（2+2）}$•$\frac{{4}^{2}}{3×（3+2）}$…$\frac{（n-1）^{2}}{（n-2）n}$•$\frac{{n}^{2}}{（n-1）（n+1）}$•ln$\frac{（n+1）^{2}}{n（n+2）}$]=ln$\frac{2}{1}•\frac{n+1}{n+2}$＜ln，
問題得以證明．

點(diǎn)評 本題考查了參數(shù)的取值范圍以及恒成立的問題，以及不等式的證明，構(gòu)造函數(shù)是關(guān)鍵，屬于中檔題．