Question

3．（Ⅰ）若雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{12}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，求此雙曲線的離心率和漸進(jìn)線方程；
（Ⅱ）拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線是y=8，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （I）雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{12}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，可得a=2$\sqrt{3}$，b=2，c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$．可得此雙曲線的離心率=$\frac{c}{a}$，漸進(jìn)線方程為：y=±$\frac{a}$x．
（Ⅱ）由題意可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x²=-2py，（p＞0），由準(zhǔn)線是y=8=$\frac{p}{2}$，解得p．可得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-$\frac{p}{2}$）．

解答 解：（I）雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{12}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，∴a=2$\sqrt{3}$，b=2，c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=4．
∴此雙曲線的離心率=$\frac{c}{a}$=$\frac{4}{2\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，漸進(jìn)線方程為：y=±$\frac{a}$x=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x．
（Ⅱ）由題意可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x²=-2py，（p＞0），
∵準(zhǔn)線是y=8=$\frac{p}{2}$，解得p=16．
∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x²=-32y．
焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-8）．

點(diǎn)評 本題考查了雙曲線與拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．