Question

12．設(shè)常數(shù)c≠0，函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{cx+1，x∈（-∞，c）}\\{{2}^{-\frac{x}{{c}^{2}}}+1，x∈[c，+∞）}\end{array}\right.$，若f（c²）=$\frac{9}{8}$
（1）求常數(shù)c的值；
（2）解不等式f（x）＜$\frac{\sqrt{2}}{8}$+1．

Answer 1

分析 （1）討論若c²＜c；若c²≥c，得到c的方程，即可解出c的值；
（2）將（1）中解出的c代入原式．討論當(dāng)x＜$\frac{1}{2}$時(shí)；x≥$\frac{1}{2}$時(shí)，解出x的范圍，最后取并集．

解答 解：（1）若c²＜c，則0＜c＜1，∵f（c²）=$\frac{9}{8}$，∴c³+1=$\frac{9}{8}$，解得c=$\frac{1}{2}$；
若c²≥c，則f（c²）=$\frac{3}{2}$，不合題意．
綜上，c=$\frac{1}{2}$．
（2）由（1）得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}x+1，x∈（-∞，\frac{1}{2}）}\\{{2}^{-4x}+1，x∈[\frac{1}{2}，+∞）}\end{array}\right.$，
由f（x）＜$\frac{\sqrt{2}}{8}$+1，得：
當(dāng)x＜$\frac{1}{2}$時(shí)，$\frac{1}{2}$x+1＜$\frac{\sqrt{2}}{8}$+1，解得x＜$\frac{\sqrt{2}}{4}$；
當(dāng)x≥$\frac{1}{2}$時(shí)，2^-4x+1＜$\frac{\sqrt{2}}{8}$+1，即2^-4x＜2${\;}^{-\frac{5}{2}}$，即有-4x＜-$\frac{5}{2}$，解得x＞$\frac{5}{8}$．
綜上可知f（x）＞$\frac{\sqrt{2}}{8}$+1的解集為{x|x＜$\frac{\sqrt{2}}{4}$或x＞$\frac{5}{8}$}．

點(diǎn)評 本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用：求值和解不等式，注意運(yùn)用分類討論的思想，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．