Question

1．已知實數(shù)x，y滿足條件$\left\{\begin{array}{l}{x+y-3≥0}\\{x-y-3≤0}\\{y≤2}\end{array}\right.$，則$\frac{3x-y}{x+y}$的取值范圍是[$\frac{1}{3}$，3]．

Answer 1

分析 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，根據(jù)分式的性質(zhì)利用分子常數(shù)化，利用換元法結(jié)合直線斜率的性質(zhì)進(jìn)行求解即可

解答 解：不等式組表示平面區(qū)域如圖：
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y-3=0}\\{y=2}\end{array}\right.$得到C（1，2），又A（2，0），
所以區(qū)域內(nèi)的點與原點連線的直線斜率最大為k_OC=2，最小值為k_OA=0，所以$\frac{y}{x}∈[0，2]$，
又$\frac{3x-y}{x+y}$=$\frac{3-\frac{y}{x}}{1+\frac{y}{x}}=-1+\frac{4}{1+\frac{y}{x}}$，所以1+$\frac{y}{x}$∈[1，3]，$\frac{4}{1+\frac{y}{x}}$∈[$\frac{4}{3}$，4]，-1+$\frac{4}{1+\frac{y}{x}}$∈[$\frac{1}{3}$3]，
所以$\frac{3x-y}{x+y}$的取值范圍為[$\frac{1}{3}$，3]．
故答案為：[$\frac{1}{3}$，3]．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用分式的性質(zhì)以及換元法是解決本題的關(guān)鍵．注意數(shù)形結(jié)合．