Question

11．二次函數(shù)f（x）的二次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)，且對任意的x∈R都有f（x）=f（4-x）成立，若f（1-2x²）＜f（1+2x-x²），則x的取值范圍為（-2，0）．

Answer 1

分析 由已知條件即可得到二次函數(shù)f（x）的對稱軸為x=2，二次項(xiàng)系數(shù)又大于0，從而知道二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)和x=2的距離越大，函數(shù)值越大，從而得到|1-2x²-2|＜|1+2x-x²|，通過整理及完全平方式即可得到關(guān)于x的一元二次方程，解方程即得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：由f（x）=f（4-x）知，二次函數(shù)f（x）的對稱軸為x=2；
∵二次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)，
∴二次函數(shù)圖象的點(diǎn)與對稱軸x=2的距離越大時，對應(yīng)的函數(shù)值越大；
∴由f（1-2x²）＜f（1+2x-x²）得|1-2x²-2|＜|1+2x-x²-2|；
即2x²+1＜（x-1）²；
解得-2＜x＜0；
∴實(shí)數(shù)x的取值范圍是（-2，0）．
故答案為：（-2，0）．

點(diǎn)評 考查由f（x）=f（4-x）即可知道f（x）的圖象關(guān)于x=2對稱，開口向上的二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)與對稱軸的距離和對應(yīng)函數(shù)值大小的關(guān)系，以及完全平方式的運(yùn)用，解一元二次不等式．