Question

19．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²-2ax+4lnx．
（1）求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，6]內(nèi)有極值，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令f′（x）=0，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)a進(jìn)行討論，判斷f′（x）=0的解的情況做出結(jié)論；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論得出不等式組，解出a的范圍．

解答 解：（1）f′（x）=x-2a+$\frac{4}{x}$=$\frac{{x}^{2}-2ax+4}{x}$（x＞0），
令f′（x）=0得x²-2ax+4=0．
①若△=4a²-16≤0，即-2≤a≤2時(shí)，f′（x）≥0，∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴f（x）沒有極值點(diǎn)．
②若△=4a²-16＞0，即a＜-2或a＞2時(shí)，則f′（x）=0的解為x₁=a+$\sqrt{{a}^{2}-4}$或x₂=a-$\sqrt{{a}^{2}-4}$．
若a＜-2，則x₂＜x₁＜0，∴f（x）在（0，+∞）上為單調(diào)函數(shù)，∴f（x）沒有極值點(diǎn)．
若a＞2，則x₁＞x₂＞0．∴f（x）在（0，a-$\sqrt{{a}^{2}-4}$）上單調(diào)遞增，在（a-$\sqrt{{a}^{2}-4}$，a+$\sqrt{{a}^{2}-4}$）上單調(diào)遞減，在（a+$\sqrt{{a}^{2}-4}$，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f（x）的極大值點(diǎn)為a-$\sqrt{{a}^{2}-4}$，極小值點(diǎn)為a+$\sqrt{{a}^{2}-4}$．
綜上，當(dāng)a≤2時(shí)，f（x）沒有極值點(diǎn)，
當(dāng)a＞2時(shí)，f（x）的極大值點(diǎn)為a-$\sqrt{{a}^{2}-4}$，極小值點(diǎn)為a+$\sqrt{{a}^{2}-4}$．
（2）∵f（x）在[2，6]上有極值，∴$\left\{\begin{array}{l}{2≤a-\sqrt{{a}^{2}-4}≤6}\\{a＞2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{2≤a+\sqrt{{a}^{2}-4}≤6}\\{a＞2}\end{array}\right.$．
解得2＜a＜$\frac{10}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值的關(guān)系，分類討論思想，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．