2.過點(4,0)且斜率為-$\frac{\sqrt{3}}{3}$的直線交圓x2+y2-4x=0于A,B兩點,C為圓心,則$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$的值為(  )
A.6B.8C.$\frac{32}{5}$D.4

分析 直線方程為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$(x-4),代入x2+y2-4x=0,可得x2-5x+4=0,求出AB,可得∠CAB=30°,利用向量的數(shù)量積公式,求出$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$的值.

解答 解:由題意,直線方程為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$(x-4),
代入x2+y2-4x=0,可得x2-5x+4=0,∴x=1或4,
∴|AB|=$\sqrt{1+\frac{1}{3}}•|4-1|$=2$\sqrt{3}$,
∵圓的半徑為2,∴∠CAB=30°,
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=2$\sqrt{3}•2•\frac{\sqrt{3}}{2}$=6,
故選:A.

點評 本題考查直線與圓的位置關系,考查弦長的計算,考查向量的數(shù)量積公式,屬于中檔題.

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