Question

2．過點(diǎn)（4，0）且斜率為-$\frac{\sqrt{3}}{3}$的直線交圓x²+y²-4x=0于A，B兩點(diǎn)，C為圓心，則$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$的值為（　　）

• A． 6
• B． 8
• C． $\frac{32}{5}$
• D． 4

Answer 1

分析 直線方程為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-4），代入x²+y²-4x=0，可得x²-5x+4=0，求出AB，可得∠CAB=30°，利用向量的數(shù)量積公式，求出$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$的值．

解答 解：由題意，直線方程為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-4），
代入x²+y²-4x=0，可得x²-5x+4=0，∴x=1或4，
∴|AB|=$\sqrt{1+\frac{1}{3}}•|4-1|$=2$\sqrt{3}$，
∵圓的半徑為2，∴∠CAB=30°，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=2$\sqrt{3}•2•\frac{\sqrt{3}}{2}$=6，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查弦長的計(jì)算，考查向量的數(shù)量積公式，屬于中檔題．