Question

已知f（x）=

1+lnx

x-1

，g（x）=

k

x

（k∈N^*），對(duì)任意的c＞1，存在實(shí)數(shù)a，b滿足0＜a＜b＜c，使得f（c）=f（a）=g（b），則k的最大值為（　�。�

• A、2
• B、3
• C、4
• D、5

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為：

1+lnx

x-1

＞

k

x

，對(duì)于x＞1恒成立，構(gòu)造函數(shù)h（x）=x•

1+lnx

x-1

求導(dǎo)數(shù)判斷，h′（x）=

x-2-lnx

(x-1)2

，且y=x-2-lnx，y′=1-

1

x

＞0在x＞1成立，y=x-2-lnx在x＞1單調(diào)遞增，利用零點(diǎn)判斷方法得出存在x₀∈（3，4）使得f（x）≥f（x₀）＞3，即可選擇答案．

解答： 解：∵f（x）=

1+lnx

x-1

，g（x）=

k

x

（k∈N^*），
對(duì)任意的c＞1，存在實(shí)數(shù)a，b滿足0＜a＜b＜c，使得f（c）=f（a）=g（b），
∴可得：

1+lnx

x-1

＞

k

x

，對(duì)于x＞1恒成立．
設(shè)h（x）=x•

1+lnx

x-1

，h′（x）=

x-2-lnx

(x-1)2

，且y=x-2-lnx，y′=1-

1

x

＞0在x＞1成立，
∴即3-2-ln3＜0，4-2-ln4＞0，
故存在x₀∈（3，4）使得f（x）≥f（x₀）＞3，
∴k的最大值為3．
故選；B

點(diǎn)評(píng)：本題考查了學(xué)生的構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)，解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，綜合性較強(qiáng)，屬于難題．