分析 由條件可得1=$\frac{1}{4}$(2a+2b+2c),則$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{c+a}$=$\frac{1}{4}$(2a+2b+2c)($\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{c+a}$)=$\frac{1}{4}$[(a+b)+(b+c)+(c+a)]($\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{c+a}$),再由三元基本不等式,以及不等式的可乘性,即可得證.
解答 證明:a+b+c=2,且a、b、c是正數(shù),
可得1=$\frac{1}{4}$(2a+2b+2c),
$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{c+a}$=($\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{c+a}$)×1
=$\frac{1}{4}$(2a+2b+2c)($\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{c+a}$)
=$\frac{1}{4}$[(a+b)+(b+c)+(c+a)]($\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{c+a}$)
≥$\frac{1}{4}$•3•$\root{3}{(a+b)(b+c)(c+a)}$•3•$\root{3}{\frac{1}{(a+b)(b+c)(c+a)}}$
=$\frac{9}{4}$(當且僅當a=b=c取得等號).
則$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{c+a}$≥$\frac{9}{4}$.
點評 本題考查不等式的證明,注意運用乘1法和基本不等式,考查運算和推理的能力,屬于中檔題.
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A. | {1,2,3} | B. | {0,1,3} | C. | {0,1,2,3} | D. | {1,2,3,4} |
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A. | 2,14,26,38,42,56 | B. | 5,8,31,36,48,54 | ||
C. | 3,13,23,33,43,53 | D. | 5,10,15,20,25,30 |
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A. | 16π | B. | $\frac{32π}{3}$ | C. | $\frac{52π}{3}$ | D. | $\frac{13π}{3}$ |
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A. | 第一象限 | B. | 第二象限 | C. | 第三象限 | D. | 第四象限 |
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A. | $\frac{{x}^{2}}{64}$-$\frac{{y}^{2}}{48}$=1 | B. | $\frac{{x}^{2}}{48}$+$\frac{{x}^{2}}{64}$=1 | C. | $\frac{{x}^{2}}{48}$-$\frac{{y}^{2}}{64}$=1 | D. | $\frac{{x}^{2}}{64}$+$\frac{{y}^{2}}{48}$=1 |
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A. | p1<p2<p3 | B. | p2<p3<p1 | C. | p1<p3<p2 | D. | p3<p2<p1 |
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