10.已知a+b+c=2,且a、b、c是正數(shù),求證:$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{c+a}$≥$\frac{9}{4}$.

分析 由條件可得1=$\frac{1}{4}$(2a+2b+2c),則$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{c+a}$=$\frac{1}{4}$(2a+2b+2c)($\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{c+a}$)=$\frac{1}{4}$[(a+b)+(b+c)+(c+a)]($\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{c+a}$),再由三元基本不等式,以及不等式的可乘性,即可得證.

解答 證明:a+b+c=2,且a、b、c是正數(shù),
可得1=$\frac{1}{4}$(2a+2b+2c),
$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{c+a}$=($\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{c+a}$)×1
=$\frac{1}{4}$(2a+2b+2c)($\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{c+a}$)
=$\frac{1}{4}$[(a+b)+(b+c)+(c+a)]($\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{c+a}$)
≥$\frac{1}{4}$•3•$\root{3}{(a+b)(b+c)(c+a)}$•3•$\root{3}{\frac{1}{(a+b)(b+c)(c+a)}}$
=$\frac{9}{4}$(當且僅當a=b=c取得等號).
則$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{c+a}$≥$\frac{9}{4}$.

點評 本題考查不等式的證明,注意運用乘1法和基本不等式,考查運算和推理的能力,屬于中檔題.

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