Question

2．定義在R上函數(shù)f（x），且f（x）+f（-x）=0，當x＜0時，f（x）=（$\frac{1}{4}$）^x-8×（$\frac{1}{2}$）^x-1
（1）求f（x）的解析式；
（2）當x∈[1，3]時，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）確定f（0）=0，當x＞0時，-x＜0，利用當x＜0時，f（x）=（$\frac{1}{4}$）^x-8×（$\frac{1}{2}$）^x-1，求出函數(shù)的解析式，即可求f（x）的解析式；
（2）當x∈[1，3]時，換元，利用配方法求f（x）的最大值和最小值．

解答 解：（1）f（x）+f（-x）=0，則函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，則f（0）=0，（2分） 
當x＞0時，-x＜0，則$f（-x）={（\frac{1}{4}）^{-x}}-8×{（\frac{1}{2}）^{-x}}-1$，
所以$f（x）=-f（-x）=-[{{{（\frac{1}{4}）}^{-x}}-8×{{（\frac{1}{2}）}^{-x}}-1}]=-{4^x}+8×{2^x}+1$，（5分）
所以$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{{{（\frac{1}{4}）}^x}-8×{{（\frac{1}{2}）}^x}-1}&{\;}&{x＜0}\\ 0&{\;}&{x=0}\\{-{4^x}+8×{2^x}+1}&{\;}&{x＞0}\end{array}}\right.$．（6分）
（2）令t=2^x，則t∈[2，8]，y=-t²+8t+1t∈[2，8]，（10分）
對稱軸為t=4∈[2，8]，
當t=4，即x=2，f（x）_max=-16+32+1=17；（11分）
當t=8，即x=3，f（x）_min=-64+64+1=1．（12分）

點評 本題考查函數(shù)的解析式，考查了函數(shù)的最大值及最小值的求法，利用了配方法的方法，屬于中檔題．