Question

10．正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面邊長為a，AA₁=$\sqrt{2}$a，求：
（1）三棱柱的體積和側(cè)面積；
（2）AB₁與側(cè)面BCC₁B₁所成的角的大�。�

Answer 1

分析 （1）直接代入體積和側(cè)面積公式計(jì)算即可；
（2）取BC中點(diǎn)D，連結(jié)AD，B₁D．則可證明AD⊥側(cè)面BCC₁B₁，于是∠AB₁D為所求角，利用勾股定理計(jì)算AD，AB₁，計(jì)算sin∠AB₁D得出線面角的大�。�

解答 解：（1）S_△ABC=$\frac{1}{2}×a×a×sin60°$=$\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$
∴三棱柱的體積V=S_△ABC•AA₁=$\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}×\sqrt{2}a$=$\frac{\sqrt{6}}{4}{a}^{3}$．
三棱柱的側(cè)面積S_側(cè)=（AB+BC+AC）•AA₁=3a$•\sqrt{2}a$=3$\sqrt{2}$a²．
（2）取BC中點(diǎn)D，連結(jié)AD，B₁D．
∵△ABC是等邊三角形，∴AD⊥BC．
∵BB₁⊥平面ABC，AD?平面ABC，
∴BB₁⊥AD，又BB₁，BC?平面BCC₁B₁，BC∩BB₁=B，
∴AD⊥平面BCC₁B₁，
∴∠AB₁D為AB₁與平面BCC₁B₁所成的角．
∵AB=a，BB₁=$\sqrt{2}a$，BD=$\frac{a}{2}$，
∴AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，AB₁=$\sqrt{3}a$．
∴sin∠AB₁D=$\frac{AD}{A{B}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，∴∠AB₁D=30°．
∴AB₁與側(cè)面BCC₁B₁所成的角為30°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了棱柱的結(jié)構(gòu)特征，體積計(jì)算，線面角的計(jì)算，屬于中檔題．