Question

10．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CB，側(cè)面ABB₁A₁是邊長(zhǎng)為2的正方形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AA₁、A₁B₁上，且AE=$\frac{1}{2}$，A₁F=$\frac{3}{4}$，CE⊥EF．
（Ⅰ）證明：平面ABB₁A₁⊥平面ABC；
（Ⅱ）若CA⊥CB，求直線AC₁與平面CEF所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （I）取AB的中點(diǎn)D，連結(jié)CD，DF，DE．計(jì)算DE，EF，DF，利用勾股定理的逆定理得出DE⊥EF，由三線合一得CD⊥AB，故而CD⊥平面ABB₁A₁，從而平面ABB₁A₁⊥平面ABC；
（II）以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出$\overrightarrow{A{C}_{1}}$和平面CEF的法向量$\overrightarrow{n}$，則直線AC₁與平面CEF所成角的正弦值等于|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{A{C}_{1}}$＞|．

解答 證明：（I）取AB的中點(diǎn)D，連結(jié)CD，DF，DE．
∵AC=BC，D是AB的中點(diǎn)，∴CD⊥AB．
∵側(cè)面ABB₁A₁是邊長(zhǎng)為2的正方形，AE=$\frac{1}{2}$，A₁F=$\frac{3}{4}$．
∴A₁E=$\frac{3}{2}$，EF=$\sqrt{（\frac{3}{4}）^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{4}$，DE=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
DF=$\sqrt{{2}^{2}+（1-\frac{3}{4}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{65}}{4}$，
∴EF²+DE²=DF²，∴DE⊥EF，
又CE⊥EF，CE∩DE=E，CE?平面CDE，DE?平面CDE，
∴EF⊥平面CDE，又CD?平面CDE，
∴CD⊥EF，
又CD⊥AB，AB?平面ABB₁A₁，EF?平面ABB₁A₁，AB，EF為相交直線，
∴CD⊥平面ABB₁A₁，又CD?ABC，
∴平面ABB₁A₁⊥平面ABC．
（II）∵平面ABB₁A₁⊥平面ABC，
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，∴CC₁⊥平面ABC．
∵CA⊥CB，AB=2，∴AC=BC=$\sqrt{2}$．
以C為原點(diǎn)，以CA，CB，CC₁為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：
則A（$\sqrt{2}$，0，0），C（0，0，0），C₁（0，0，2），E（$\sqrt{2}$，0，$\frac{1}{2}$），F(xiàn)（$\frac{5\sqrt{2}}{8}$，$\frac{3\sqrt{2}}{8}$，2）．
∴$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-$\sqrt{2}$，0，2），$\overrightarrow{CE}$=（$\sqrt{2}$，0，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{CF}$=（$\frac{5\sqrt{2}}{8}$，$\frac{3\sqrt{2}}{8}$，2）．
設(shè)平面CEF的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CF}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{2}x+\frac{1}{2}z=0}\\{\frac{5\sqrt{2}}{8}x+\frac{3\sqrt{2}}{8}y+2z=0}\end{array}\right.$，令z=4，得$\overrightarrow{n}$=（-$\sqrt{2}$，-9$\sqrt{2}$，4）．
∴$\overrightarrow{A{C}_{1}}•\overrightarrow{n}$=10，|$\overrightarrow{n}$|=6$\sqrt{5}$，|$\overrightarrow{A{C}_{1}}$|=$\sqrt{6}$．
∴sin＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{A{C}_{1}}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{C}_{1}}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{A{C}_{1}}|}$=$\frac{\sqrt{30}}{18}$．
∴直線AC₁與平面CEF所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{30}}{18}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了面面垂直的判定，線面角的計(jì)算，空間向量的應(yīng)用，屬于中檔題．