Question

20．已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，且a=$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{3}$，求sinC的值．

Answer 1

分析 由三內(nèi)角成等差數(shù)列及內(nèi)角和定理求出B的度數(shù)，再由a與b的值，利用正弦定理求出sinA的值，確定出A的度數(shù)，由sinC=sin（A+B），利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，將A與B的度數(shù)代入計(jì)算即可求出值．

解答 解：∵三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，
∴2B=A+C，
∵A+B+C=π，
∴3B=π，即B=$\frac{π}{3}$，
∵a=$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{3}$，
∴由正弦定理$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$得：sinA=$\frac{asinB}$=$\frac{\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵a＜b，∴A＜B，即A=$\frac{π}{4}$，
則sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了正弦、余弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及等差數(shù)列的性質(zhì)，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．