Question

12．已知函數(shù)f（x）=4^x+a•2^x+3，a∈R
（1）當(dāng)a=-4時(shí)，且x∈[0，2]，求函數(shù)f（x）的值域；
（2）若f（x）＞0在（0，+∞）對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把a(bǔ)=-4代入函數(shù)解析式，換元后利用配方法求函數(shù)f（x）的值域；
（2）令t=2^x，由x的范圍得到t的范圍，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為t²+at+3＞0在t∈（1，+∞）上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的最值即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=-4時(shí)，令t=2^x，
由x∈[0，2]，得t∈[1，4]，y=t²-4t+3=（t-2）²-1
當(dāng)t=2時(shí)，y_min=-1；當(dāng)t=4時(shí)，y_max=3．
∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-1，3]；
（2）設(shè)t=2^x，則t＞1，f（x）＞0在（0，+∞）對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立
等價(jià)于t²+at+3＞0在t∈（1，+∞）上恒成立，
∴a＞-（t+$\frac{3}{t}$）在（1，+∞）上恒成立，
∴a＞[-（t+$\frac{3}{t}$）]_max，
設(shè)g（t）=-（t+$\frac{3}{t}$），t＞1，函數(shù)g（t）在（1，$\sqrt{3}$）上單調(diào)遞增，在（$\sqrt{3}$，+∞）上單調(diào)遞減
∴g（t）_max=g（$\sqrt{3}$）=-2$\sqrt{3}$，
∴a＞-2$\sqrt{3}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，考查了換元法，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．