Question

13．如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，若點(diǎn)P在正方形內(nèi)（不含邊界），且滿(mǎn)足$\overrightarrow{PA}$$•\overrightarrow{PB}$=1
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（Ⅱ）求|$\overrightarrow{PA}$+2$\overrightarrow{PB}$|的取值范圍；
（Ⅲ）求|$\overrightarrow{PC}$-2$\overrightarrow{PD}$|²的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）以A為原點(diǎn)距離平面直角坐標(biāo)系，設(shè)P（x，y），求出$\overrightarrow{PA}，\overrightarrow{PB}$的坐標(biāo)，根據(jù)$\overrightarrow{PA}$$•\overrightarrow{PB}$=1列方程得出x，y的關(guān)系得出軌跡方程；
（2）計(jì)算|$\overrightarrow{PA}$+2$\overrightarrow{PB}$|²，使用等量代換消去平方項(xiàng)得出|$\overrightarrow{PA}$+2$\overrightarrow{PB}$|²關(guān)于x的函數(shù)，根據(jù)x的范圍得出答案；
（3）計(jì)算|$\overrightarrow{PC}$-2$\overrightarrow{PD}$|²，消去平方項(xiàng)得出|$\overrightarrow{PC}$-2$\overrightarrow{PD}$|²關(guān)于x，y的函數(shù)，利用線性規(guī)劃解出范圍．

解答 解：（I）分別以AB，AD為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，
則A（0，0），B（2，0），設(shè)P（x，y），
則$\overrightarrow{PA}$=（-x，-y），$\overrightarrow{PB}$=（2-x，-y）．
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=x（x-2）+y²=1，整理得：x²+y²-2x-1=0．
即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x²+y²-2x-1=0（0＜x＜2，0＜y＜2）．
（II）$\overrightarrow{PA}+2\overrightarrow{PB}$=（4-3x，-3y），
∴（$\overrightarrow{PA}+2\overrightarrow{PB}$）²=（4-3x）²+9y²=9x²+9y²-24x+16，
由（I）得x²+y²=2x+1，
∴（$\overrightarrow{PA}+2\overrightarrow{PB}$）²=18x+9-24x+16=-6x+25．
∵0＜x＜2，
∴13＜-6x+25＜25，
∴$\sqrt{13}$＜|$\overrightarrow{PA}+2\overrightarrow{PB}$|＜5．
（III）$\overrightarrow{PC}$=（2-x，2-y），$\overrightarrow{PD}$=（-x，2-y），
$\overrightarrow{PC}-2\overrightarrow{PD}$=（x+2，y-2），
∴|$\overrightarrow{PC}$-2$\overrightarrow{PD}$|²=（x+2）²+（y-2）²=x²+y²+4x-4y+8=6x-4y+9．
令z=6x-4y+9，則y=$\frac{3}{2}x+\frac{9}{4}-\frac{z}{4}$，
由圖形可知當(dāng)直線y=$\frac{3}{2}x+\frac{9}{4}-\frac{z}{4}$經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（2，1）時(shí)，直線截距最小，即z最大，
當(dāng)直線y=$\frac{3}{2}x+\frac{9}{4}-\frac{z}{4}$經(jīng)過(guò)點(diǎn)N（0，1）時(shí)，直線截距最大，即z最小．
∴z的最大值為12-4+9=17，z的最小值為0-4+9=5．
∴|$\overrightarrow{PC}$-2$\overrightarrow{PD}$|²的取值范圍是（5，17）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，函數(shù)的單調(diào)性與線性規(guī)劃應(yīng)用，屬于中檔題．