Question

17．已知等比數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，且6a₂，1，4a₁成等差數(shù)列，3a₆，a₃，3a₂成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）已知b_n=log₃$\frac{1}{{a}_{n}}$，記c_n=a_n•b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）等設比數(shù)列{a_n}的公比為q＞0，由6a₂，1，4a₁成等差數(shù)列，3a₆，a₃，3a₂成等比數(shù)列．可得6a₂+4a₁=2，3a₆•（3a₂）=${a}_{3}^{2}$，聯(lián)立基礎即可得出．
（2）b_n=log₃$\frac{1}{{a}_{n}}$=n，c_n=a_n•b_n=$\frac{n}{{3}^{n}}$．利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的求和公式可得：數(shù)列{c_n}的前n項和．

解答 解：（1）等設比數(shù)列{a_n}的公比為q＞0，∵6a₂，1，4a₁成等差數(shù)列，3a₆，a₃，3a₂成等比數(shù)列．
∴6a₂+4a₁=2，3a₆•（3a₂）=${a}_{3}^{2}$，
∴a₁（3q+2）=1，3a₄=a₃，即q=$\frac{1}{3}$．
解得a₁=$\frac{1}{3}$．
∴${a}_{n}=（\frac{1}{3}）^{n}$．
（2）b_n=log₃$\frac{1}{{a}_{n}}$=n，
∴c_n=a_n•b_n=$\frac{n}{{3}^{n}}$．
∴數(shù)列{c_n}的前n項和S_n=$\frac{1}{3}+\frac{2}{{3}^{2}}$+…+$\frac{n}{{3}^{n}}$，
$\frac{1}{3}{S}_{n}$=$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{2}{{3}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{3}^{n}}$+$\frac{n}{{3}^{n+1}}$，
∴$\frac{2}{3}$S_n=$\frac{1}{3}+\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$-$\frac{n}{{3}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$-$\frac{n}{{3}^{n+1}}$，
∴S_n=$\frac{3}{4}$-$\frac{3+2n}{4×{3}^{n}}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與求和公式、“錯位相減法”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．